《2025年书立方跟踪测试卷八年级数学上册人教版》

16. (2025·福建)如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，$D$ 是 $AB$ 的中点，$CE\perp BC$，垂足为 $C$，$EF$ 是由 $CD$ 沿 $CE$ 方向平移得到的。已知 $EF$ 过点 $A$，$BE$ 交 $CD$ 于点 $G$。
（1）求 $\angle DCE$ 的大小；
（2）求证：$\triangle CEG$ 是等边三角形。

答案： 16.
(1)解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = 60°.
∵D是AB的中点，
∴∠DCB = ∠DCA = $\frac{1}{2}$∠ACB = 30°.
∵CE⊥BC,
∴∠BCE = 90°,
∴∠DCE = ∠BCE - ∠DCB = 60°.
(2)证明：由平移可知：CD//EF,
∴∠EAC = ∠DCA = 30°,
又
∵∠ECA = ∠BCE - ∠ACB = 30°,
∴∠EAC = ∠ECA,
∴AE = CE, ∠AEC = 120°,
又
∵AB = CB,
∴BE垂直平分AC,
∴∠GEC = $\frac{1}{2}$∠AEC = $\frac{1}{2}$×120° = 60°,
由
(1)知，∠GCE = 60°,
∴∠EGC = 60°,
∴∠GEC = ∠GCE = ∠EGC = 60°,
∴△CEG是等边三角形.

17. 如图，在等边 $\triangle ABC$ 中，$AB = 12\ cm$，现有 $M$，$N$ 两点分别从点 $A$，$B$ 同时出发，沿 $\triangle ABC$ 的边按顺时针方向运动，已知点 $M$ 的速度为 $1\ cm/s$，点 $N$ 的速度为 $2\ cm/s$，当点 $N$ 第一次到达 $B$ 点时，$M$，$N$ 同时停止运动，设运动时间为 $t(s)$。
（1）当 $t$ 为何值时，$M$，$N$ 两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点 $M$，$N$ 在 $BC$ 边上运动时，是否存在使 $AM = AN$ 的位置？若存在，请求出此时点 $M$，$N$ 运动的时间；若不存在，请说明理由。

答案：
17.解：
(1)由题意知，t + 12 = 2t, 解得t = 12,
∴当t = 12时，M, N两点重合，
此时两点在点C处重合.
(2)存在.
由
(1)知，当t = 12秒时，M, N两点重合，恰好在C处，此时AM = AN;
当点M, N在BC边上运动时，如图，

此时CM = t - 12, NB = 36 - 2t.
当CM = BN时，由AC = AB, ∠C = ∠B得，△ACM≌△ABN,
∴AM = AN.
由t - 12 = 36 - 2t, 解得t = 16.
综上，当点M, N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM = AN.