《2025年书立方跟踪测试卷八年级数学上册人教版》

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AE\perp BC$ 于 $E$，$D$ 为 $BC$ 边上一点，$\angle ADB = 120^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$，$\angle CAE = 30^{\circ}$。
（1）求证：$\triangle ACD$ 为等边三角形；
（2）求 $\angle BAC$ 的度数。

答案： 14.
(1)证明：
∵∠ADB + ∠ADC = 180°,
∴∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 120° = 60°.
∵AE⊥BC,
∴∠AEC = 90°,
∴∠C = 90° - ∠CAE = 90° - 30° = 60°,
∴∠ADC = ∠C = 60°,
∴△ACD为等边三角形.
(2)解：∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 80°.

15. 如图，$\triangle ABC$ 是等边三角形，$D$，$E$ 分别是 $BC$，$AC$ 边上的点，连接 $AD$，$BE$，且 $AD$，$BE$ 相交于点 $P$，$\angle AEB = \angle CDA$。
（1）求 $\angle BPD$ 的度数；
（2）过点 $B$ 作 $BQ\perp AD$ 于 $Q$，若 $PQ = 3$，$PE = 1$，求 $BE$ 的长。

答案： 15.解：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = ∠C = 60°.
∵∠ADC = ∠ABC + ∠BAD, ∠AEB = ∠C + ∠EBC, ∠AEB = ∠CDA,
∴∠BAD = ∠EBC,
∴∠BPD = ∠ABE + ∠BAD = ∠ABE + ∠EBC = ∠ABC = 60°.
(2)
∵BQ⊥AD,
∴∠BQP = 90°.
∵∠BPD = 60°,
∴∠PBQ = 90° - ∠BPD = 30°,
∴BP = 2PQ = 6.
又
∵PE = 1,
∴BE = BP + PE = 6 + 1 = 7.