《2025年书立方跟踪测试卷八年级数学上册人教版》

21. (8 分)小明从一张边长为$a$ cm 的正方形纸板上减掉一个边长为$b$ cm 的正方形(如图 1)，然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形(如图 2).
(1)上述过程揭示的因式分解的等式是$a^2 - b^2 =$(a + b)(a - b)；
(2)若$9x^2 - 16y^2 = 30$，$3x + 4y = 6$，求$4y - 3x$的值；
(3)利用因式分解计算：$(1 - \frac{1}{2^2})×(1 - \frac{1}{3^2})×(1 - \frac{1}{4^2})×·s×(1 - \frac{1}{2025^2})×(1 - \frac{1}{2026^2})$.

答案： 21.解：
(1)(a + b)(a - b)
(2)
∵$9x^{2} - 16y^{2} = 30，$
∴(3x + 4y)(3x - 4y) = 30，
∵3x + 4y = 6，
∴3x - 4y = 5，
∴4y - 3x = -5.
(3)原式$ = (1 - \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{3})×$
$(1 + \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{4})×(1 + \frac{1}{4})× … ×$
$(1 - \frac{1}{2025})×(1 + \frac{1}{2025})×(1 - \frac{1}{2026})×(1 + \frac{1}{2026})$
$= \frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}× … ×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}×$
$\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}$
$= \frac{1}{2}×\frac{2027}{2026} = \frac{2027}{4052}.$

22. (10 分) 阅读理解【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
①用配方法分解因式：$a^2 + 6a + 5$.
解：原式$= a^2 + 6a + 9 - 4 = (a + 3)^2 - 4 = (a + 3 + 2)(a + 3 - 2) = (a + 5)(a + 1)$.
②利用配方法求最小值：求$a^2 + 6a + 5$的最小值.
解：$a^2 + 6a + 5 = a^2 + 2a·3 + 3^2 - 3^2 + 5 = (a + 3)^2 - 4$，因为不论$a$取何值，$(a + 3)^2$总是非负数，即$(a + 3)^2 \geq 0$，所以$(a + 3)^2 - 4 \geq -4$，所以当$a = -3$时，$a^2 + 6a + 5$有最小值，最小值是$-4$.
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：$x^2 - 12x +$36$= (x -$6$)^2$；
(2)将$x^2 - 3x + 66$变形为$(x + m)^2 + n$的形式，并求出$x^2 - 3x + 66$的最小值；
【探究】若$M = 5a^2 + 9a + 6$，$N = 4a^2 + 5a$(为任意实数)，试比较$M$与$N$的大小，并说明理由.

答案： 22.解：【应用】
(1)36 6
$(2)x^{2} - 3x + 66$
$= x^{2} - 2·\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + 63\frac{3}{4}$
$= (x - \frac{3}{2})^{2} + 63\frac{3}{4}$
∵$(x - \frac{3}{2})^{2} ≥ 0，$
∴$(x - \frac{3}{2})^{2} + 63\frac{3}{4} ≥ 63\frac{3}{4}，$
∴当$x = \frac{3}{2}$时，$x^{2} - 3x + 66$的最小值是$63\frac{3}{4}。$
【探究】
∵$M = 5a^{2} + 9a + 6，$$N = 4a^{2} + 5a，$
∴$M - N = 5a^{2} + 9a + 6 - (4a^{2} + 5a)$
$= 5a^{2} + 9a + 6 - 4a^{2} - 5a$
$= a^{2} + 4a + 6$
$= a^{2} + 4a + 4 + 2$
$= (a + 2)^{2} + 2，$
∵$(a + 2)^{2} ≥ 0，$
有$(a + 2)^{2} + 2 ＞ 0，$
∴M - N ＞ 0，
∴M ＞ N.