《2025年书立方跟踪测试卷八年级数学上册人教版》

19. (12分)(1)动手操作：
①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC//EF，已知∠A = 30°，∠E = 45°，则∠ABD + ∠ACD =60°；
②如图2，若直角三角板ABC不动，改变直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，已知∠A = 30°，∠E = 45°，那么∠ABD + ∠ACD =60°；
(2)猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，说明理由；
(3)灵活应用：如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC = 40°，∠BDC = 120°，求∠BEC的度数。

答案：
19.解：
(1)①60　②60
(2)$\angle BDC = \angle A + \angle ABD + \angle ACD$，理由：
如图，连接$BC$。

∵$\angle A + \angle ABD + \angle DBC + \angle ACD + \angle DCB = 180^{\circ}$，
$\angle BDC + \angle DBC + \angle DCB = 180^{\circ}$，
∴$\angle DBC + \angle DCB = 180^{\circ} - \angle BDC$，
∴$\angle A + \angle ABD + \angle ACD + 180^{\circ} - \angle BDC = 180^{\circ}$，
即$\angle BDC = \angle A + \angle ABD + \angle ACD$。
(3)由
(2)可得$\angle BDC = \angle ABD + \angle ACD + \angle A$，
∵$\angle BAC = 40^{\circ}$，$\angle BDC = 120^{\circ}$，
∴$\angle ABD + \angle ACD = 80^{\circ}$，
∵$BE$平分$\angle ABD$，$CE$平分$\angle ACD$，
∴$\angle EBD = \frac{1}{2}\angle ABD$，$\angle ECD = \frac{1}{2}\angle ACD$，
∴$\angle EBD + \angle ECD = \frac{1}{2}\angle ABD + \frac{1}{2}\angle ACD = 40^{\circ}$，
∵$\angle BDC = \angle BEC + \angle EBD + \angle ECD$，
∴$\angle BEC = \angle BDC - \angle EBD - \angle ECD = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ}$。

20. (13分)已知∠MON = 90°，点A，B分别在边OM，ON上运动(不与点O重合)。
(1)如图1，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D。
①若∠BAO = 60°，则∠D =45°；
②猜想：∠D的度数是否随点A，B的运动而发生变化？并说明理由；
(2)如图2，若∠ABC = $\frac{1}{3}$∠ABN，∠BAD = $\frac{1}{3}$∠BAO，求∠D的度数。
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答案： 20.解：
(1)①45
②$\angle D$的度数不随点$A$，$B$的运动而发生变化。
理由如下：
∵$BC$平分$\angle ABN$，$AD$平分$\angle BAO$，
∴$\angle ABC = \frac{1}{2}\angle ABN$，$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAO$。
∵$\angle ABN = \angle MON + \angle BAO$，
$\angle ABC = \angle D + \angle BAD$，
∴$\angle D + \angle BAD = \frac{1}{2}(\angle MON + \angle BAO)$，
∴$\angle D = \frac{1}{2}\angle MON = \frac{1}{2} × 90^{\circ} = 45^{\circ}$，
即$\angle D$的度数不随点$A$，$B$的运动而发生变化。
(2)
∵$\angle ABC = \frac{1}{3}\angle ABN$，$\angle BAD = \frac{1}{3}\angle BAO$，
∴$\angle D = \angle ABC - \angle BAD = \frac{1}{3}\angle ABN - \frac{1}{3}\angle BAO = \frac{1}{3}(\angle ABN - \angle BAO) = \frac{1}{3}\angle MON = \frac{1}{3} × 90^{\circ} = 30^{\circ}$，
即$\angle D$的度数为$30^{\circ}$。