《2025年书立方跟踪测试卷八年级数学上册人教版》

11. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 90^{\circ}$，点 $D$ 在 $AC$ 边上，$DE // BC$，若 $\angle ADE = 150^{\circ}$，求 $\angle B$ 的度数。

答案： 11.解:
∵∠ADE=150°，
∴∠EDC=30°，
∵DE//BC，
∴∠C=∠EDC=30°，又
∵∠A=90°，
∴∠B=90°−∠C=60°。

12. 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，$E$ 是 $AB$ 边上一点，$CE$ 交 $AD$ 于点 $M$，且 $\angle DCM = \angle MAE$，求证：$\triangle AEM$ 是直角三角形。

答案： 12.证明:
∵AD是BC边上的高，
∴∠DMC+∠DCM=90°，
∵∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，
∴∠AME+∠MAE=90°，
∴△AEM是直角三角形。

13. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，边 $BC$ 在直线 $l$ 上。将直线 $l$ 绕点 $C$ 顺时针旋转到直线 $l^{\prime}$，交 $AB$ 于点 $E$，以 $CE$ 为直角边作直角 $\triangle CEF$，使 $\angle CEF = 90^{\circ}$，$\angle ECF = 30^{\circ}$，点 $F$ 和点 $A$ 始终在直线 $l^{\prime}$ 的同侧。设 $\angle BCE = \alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 90^{\circ})$。
(1) 当 $CE \perp AB$ 时，$\alpha =$45$^{\circ}$；当 $\alpha = 20^{\circ}$ 时，$\angle AEF =$25$^{\circ}$；
(2) 当 $\angle AEF = 30^{\circ}$ 时，求 $\alpha$ 的大小；
(3) 当 $\triangle CEF$ 与 $\triangle ABC$ 重叠部分为直角三角形时，直接写出 $\alpha$ 的取值范围。

答案：
13.解:
(1)45　25
(2)当∠AEF=30°时，∠AEC=∠CEF−∠AEF=90°−30°=60°，
∴∠BEC=180°−60°=120°，
∵∠B=45°，
∴α=180°−120°−45°=15°。
(3)过点C作CH⊥AB，
∴∠BHC=90°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=45°，
∴∠BCH=45°，又
∵∠CEF=90°，分情况讨论如下:
①当点E在线段BH上时，点F在△ABC的外部，因此当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，CF与CH重合，如图1所示:

∵∠ECF=30°，
∴α=∠BCH−∠ECF=45°−30°=15°；
②当点E与点H重合时，点F落在AB上，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF，如图2所示:

此时α=∠BCH=45°；
③当点E在线段HA上时，此时△CEF与△ABC重叠部分为△CEF或△CEF的一部分，如图3、图4所示:

∴45°＜α＜90°。
综上，当△CEF与△ABC重叠部分为直角三角形时，α的取值范围是α=15°或45°≤α＜90°。