《2025年书立方跟踪测试卷八年级数学上册人教版》

8. 如图，已知$\triangle ABC$的周长是21，$OB$，$OC$分别平分$\angle ABC$和$\angle ACB$，$OD\perp BC$于$D$，且$OD = 4$，$\triangle ABC$的面积是42.

答案： 8.42

9. 如图，$BD$是$\angle ABC$的平分线，$AB = BC$，点$P$在$BD$上，$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，垂足分别是$M$、$N$.求证：$PM = PN$.

答案： 9.证明：
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = BC, \\ \angle ABD = \angle CBD, \\ BD = BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB = ∠CDB。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM = PN。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp AB$于点$E$，点$F$在$AC$上，$BD = DF$.
（1）求证：$CF = EB$；
（2）若$AB = 12$，$AF = 8$，求$CF$的长.

答案： 10.
(1)证明：
∵AD平分∠BAC，∠C = 90°，
DE⊥AB，
∴DE = DC。
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
$\begin{cases}DF = DB, \\ DC = DE,\end{cases}$
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF = EB。
(2)解：在Rt△ADC与Rt△ADE中，
$\begin{cases}AD = AD, \\ DC = DE,\end{cases}$
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，
∴AC = AE。
∵CF = EB，
∴AF + CF = AB - BE，
∴CF = $\frac{1}{2}$(AB - AF)=2。

11. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在$BC$边上，$\angle BAD = 100^{\circ}$，$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$E$，过点$E$作$EF\perp AB$，垂足为$F$，且$\angle AEF = 50^{\circ}$，连接$DE$.
（1）求$\angle DAE$的度数；
（2）若$AB = 6$，$AD = 4$，$CD = 8$，且$S_{\triangle ACD} = 18$，求$\triangle ABE$的面积.

答案：
11.解：
(1)
∵EF⊥AB，
∴∠AFE = 90°，
∴∠EAF = 90° - ∠AEF = 90° - 50° = 40°。
∵∠BAD = 100°，
∴∠DAE = 180° - 100° - 40° = 40°。
(2)如图，过E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF = EN。
∵∠EAF = ∠DAE = 40°，
∴AE平分∠DAF，
∴FE = EM，
∴EM = EN。
∵△ACD的面积 = △ADE的面积 + △CDE的面积，
∴$\frac{1}{2}$AD·EM + $\frac{1}{2}$CD·EN = 18，
∴$\frac{1}{2}$(AD + CD)·EM = 18，
∴$\frac{1}{2}$×(4 + 8)×EM = 18，
∴EM = 3，
∴EF = 3。
∴△ABE的面积 = $\frac{1}{2}$AB·EF = $\frac{1}{2}$×6×3 = 9。