《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

22. （10分）阅读下列化简过程：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$，
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$，
……
从中找出化简的方法与规律，然后回答下列问题：
（1）计算：$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}})\cdot(\sqrt{2024}+1)$；
（2）设$a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，$b=\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$，$c=\frac{1}{\sqrt{5}-2}$，比较$a$，$b$，$c$的大小关系。

答案： （1）原式中每一项$\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$。
括号内相加得$(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{2024}-\sqrt{2023})=\sqrt{2024}-1$。
再乘以$(\sqrt{2024}+1)=(\sqrt{2024})^2 - 1^2=2024 - 1=2023$。
（2）$a=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\approx1.732 + 1.414=3.146$；
$b=\frac{1}{2 - \sqrt{3}}=2 + \sqrt{3}\approx2 + 1.732=3.732$；
$c=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2\approx2.236 + 2=4.236$。
则$a ＜ b ＜ c$。