《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

19.（9分）已知关于x的一元二次方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，其中a,b,c分别为$\triangle ABC$三边的长.
（1）如果$x=-1$是方程的根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由；
（3）如果$\triangle ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

答案： （1）等腰三角形
解析：将$x=-1$代入方程得$(a + c)-2b+(a - c)=0$，化简得$2a - 2b = 0$，即$a = b$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
（2）直角三角形
解析：$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$，即$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
（3）$x_{1}=0,x_{2}=-1$
解析：等边三角形$a = b = c$，方程变为$2ax^{2}+2ax = 0$，即$x(x + 1)=0$，解得$x = 0$或$x=-1$。

20.（9分）如图所示，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门. 所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为$80\space m^{2}$？

答案： 长10 m，宽8 m
解析：设垂直墙的一边长为$x$，则平行墙的一边长为$25 - 2x + 1=26 - 2x$。$x(26 - 2x)=80$，化简得$x^{2}-13x + 40 = 0$，解得$x = 5$或$x = 8$。当$x = 5$时，长为16（超墙长，舍去）；当$x = 8$时，长为10，宽为8。