《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

2.(1)发现
如图1所示,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于_______时,线段AC的长取得最大值,且最大值为_______；(用含a,b的式子表示)
(2)应用
点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值；
(3)拓展
如图3所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

答案：
(1)当点A位于线段CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为a + b。
(2)①CD=BE。
理由：因为△ABD和△ACE都是等边三角形，所以AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，所以∠BAD + ∠BAC=∠CAE + ∠BAC，即∠DAC=∠BAE。
在△DAC和△BAE中，$\left\{ \begin{array}{l} AD = AB \\ ∠DAC = ∠BAE \\ AC = AE \end{array} \right.$，所以△DAC≌△BAE(SAS)，所以CD=BE。
②由
(1)知，AC的最大值为BC + AB=3 + 1=4，因为CD=BE，CD=AC=4，所以BE长的最大值为4。
(3)线段AM长的最大值为$3 + 2\sqrt{2}$，此时点P的坐标为(2 - $\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$)