《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

13. 如图所示，点$O$是半圆圆心，$BE$是半圆的直径，点$A$，$D$在半圆上，且$AD// BO$，$\angle ABO = 60°$，$AB = 8$，过点$D$作$DC\perp BE$于点$C$，则阴影部分的面积是___.

答案： $16\sqrt{3}+\frac{32\pi}{3}-16\sqrt{3}= \frac{32\pi}{3}$（过程：连接$OA$，$\angle ABO = 60°$，$OA = OB$，$\triangle AOB$为等边三角形，$OA = AB = 8$，$AD// BO$，$\angle DAO=\angle AOB = 60°$，$\triangle AOD$为等边三角形，$\angle AOD = 60°$，$\angle DOE=60°$，$DC=\frac{\sqrt{3}}{2}OD = 4\sqrt{3}$，$OC = 4$，$S_{阴影}=S_{扇形AOE}+S_{\triangle DOC}-S_{\triangle AOB}=\frac{120\pi×8^2}{360}+\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}×8^2=\frac{64\pi}{3}+8\sqrt{3}-16\sqrt{3}=\frac{64\pi}{3}-8\sqrt{3}$，此处按题目图形可能不同，最终结果以实际图形为准，暂给$\frac{64\pi}{3}-8\sqrt{3}$）

14. 如图所示，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接三角形，$AD\perp BC$于点$D$，且$AC = 5$，$DC = 3$，$AB = 4\sqrt{2}$，则$\odot O$的直径等于___.

答案： 5\sqrt{2}
解析：$AD=\sqrt{AC^2 - DC^2}=\sqrt{25 - 9}=4$，$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{32 - 16}=4$，$BC = BD + DC=7$，由正弦定理$\frac{BC}{\sin\angle BAC}=2R$，$\sin\angle BAC=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$2R=\frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=7\sqrt{2}$（可能计算错误，另法：作直径$AE$，连接$BE$，$\angle ABE = 90°=\angle ADC$，$\angle AEB=\angle ACB$，$\triangle ABE\sim\triangle ADC$，$\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}$，$AE=\frac{AB×AC}{AD}=\frac{4\sqrt{2}×5}{4}=5\sqrt{2}$）。

15. 一个工厂有若干个车间，今采用抽样方法对全厂某车间生产的2048件产品抽取128件进行质量检查，若甲车间这一天生产了256件产品，且考虑抽样的代表性，则应该从该车间抽取的产品件数为___.

答案： 16
解析：抽样比$\frac{128}{2048}=\frac{1}{16}$，甲车间抽取$256×\frac{1}{16}=16$（件）。

16. (9分)函数$y = ax^2(a\neq0)$与直线$y = 2x - 3$交于点$A(1,b)$，求：
(1)$a$和$b$的值；
(2)抛物线$y = ax^2$的顶点和对称轴；
(3)对于函数$y = ax^2(a\neq0)$，当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？

答案：
(1)将$A(1,b)$代入$y = 2x - 3$，得$b=2×1 - 3=-1$，再代入$y = ax^2$，得$-1=a×1^2$，$a=-1$
(2)抛物线$y=-x^2$的顶点为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或$x = 0$）
(3)$a=-1＜0$，抛物线开口向下，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大

17. (9分)如图所示，$PA$与$\odot O$相切于$A$点，弦$AB\perp OP$，垂足为$C$，$OP$与$\odot O$相交于$D$点，已知$OA = 2$，$OP = 4$.
(1)求$\angle POA$的度数；
(2)计算弦$AB$的长.

答案：
(1)$\cos\angle POA=\frac{OA}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\angle POA = 60°$
(2)$AC = OA\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$AB = 2AC = 2\sqrt{3}$