《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

29. 如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D；以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD.
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数；
(2)设BC=a,AC=b.
①线段AD的长是方程$x²+2ax-b²=0$的一个根吗？说明理由；②若AD=EC,求$\frac{a}{b}$的值.

答案：
(1)31°
(2)①是，理由见解析
②$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

30. 如图所示,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B,C重合),连接AG,作DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,设$\frac{BG}{BC}=k$.
(1)求证:AE=BF；
(2)连接BE,DF,设∠EDF=α,∠EBF=β.求证:tanα=k·tanβ；
(3)设线段AG与对角线BD交于点H,△AHD和四边形CDHG的面积分别为S₁和S₂.求$\frac{S₂}{S₁}$的最大值.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AE=BF
(2)设正方形边长为1，则BG=k，AB=1，AG=$\sqrt{1+k²}$，由面积法得BF=$\frac{k}{\sqrt{1+k²}}$，AF=$\frac{1}{\sqrt{1+k²}}$，AE=BF=$\frac{k}{\sqrt{1+k²}}$，EF=AF-AE=$\frac{1-k}{\sqrt{1+k²}}$，DE=AF=$\frac{1}{\sqrt{1+k²}}$，在Rt△DEF中，tanα=$\frac{EF}{DE}=1-k$，在Rt△BEF中，tanβ=$\frac{EF}{BF}=\frac{1-k}{k}$，
∴tanα=k·tanβ
(3)2