《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

33. 如图1所示,直线$ l:y=-\frac {3}{4}x+b $与x轴交于点$ A(4,0) $,与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点$ (0＜AC＜\frac {16}{5}) $.以点A为圆心,AC长为半径作$ \odot A $交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连接OE并延长交$ \odot A $于点F.
(1)求直线l对应的函数解析式和$ \tan\angle BAO $的值;
(2)如图2所示,连接CE,当$ CE=EF $时,
①求证:$ \triangle OCE\sim\triangle OEA $;
②求点E的坐标;
(3)当点C在线段OA上运动时,求$ OE\cdot EF $的最大值.

答案：
(1)将$ A(4,0) $代入$ y=-\frac {3}{4}x+b $，得$ 0=-\frac {3}{4}×4 + b $，解得$ b=3 $，所以直线l的解析式为$ y=-\frac {3}{4}x + 3 $。
令$ x=0 $，得$ y=3 $，所以$ B(0,3) $。在$ Rt\triangle AOB $中，$ OA=4 $，$ OB=3 $，$ \tan\angle BAO=\frac {OB}{OA}=\frac {3}{4} $。
(2)①连接AF，因为AE=AF，所以$ \angle AEF=\angle AFE $。因为CE=EF，所以$ \angle ECF=\angle EFC $。又因为$ \angle AEF=\angle ECF+\angle EFC=2\angle EFC $，且$ \angle OEA=\angle AEF $，$ \angle OCE=\angle ECF $，所以$ \angle OEA=2\angle OCE $。
设$ \angle OCE=\alpha $，则$ \angle OEA=2\alpha $，$ \angle COE=180^{\circ}-\angle OCE-\angle OEC=180^{\circ}-\alpha-(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha $，所以$ \angle COE=\angle OCE $，$ \angle OEC=\angle OEA $，故$ \triangle OCE\sim\triangle OEA $。
②设$ AC=AE=r $，$ C(4 - r,0) $。由$ \triangle OCE\sim\triangle OEA $，得$ \frac {OC}{OE}=\frac {OE}{OA} $，即$ OE^{2}=OC\cdot OA $。
设$ E(x,y) $，因为E在AB上，所以$ y=-\frac {3}{4}x + 3 $。$ OE^{2}=x^{2}+y^{2} $，$ OC=4 - r $，$ OA=4 $，所以$ x^{2}+y^{2}=4(4 - r) $。
又因为$ AE=r $，$ A(4,0) $，所以$ (x - 4)^{2}+y^{2}=r^{2} $。联立方程：
$ \begin{cases}x^{2}+y^{2}=16 - 4r \$x - 4)^{2}+y^{2}=r^{2}\end{cases} $两式相减得：$ x^{2}-(x - 4)^{2}=16 - 4r - r^{2} $，即$ 8x - 16=16 - 4r - r^{2} $，$ 8x=32 - 4r - r^{2} $，$ x=4-\frac {r^{2}+4r}{8} $。因为$ y=-\frac {3}{4}x + 3 $，且$ AE=r $，$ E $在AB上，AB的方程为$ \frac {x}{4}+\frac {y}{3}=1 $，点E到A的距离为r，根据距离公式可得$ r=\frac {5}{4}(4 - x) $（由$ \sin\angle BAO=\frac {3}{5} $，$ AE\cos\angle BAO=4 - x $），即$ 4 - x=\frac {4r}{5} $，$ x=4-\frac {4r}{5} $。所以$ 4-\frac {4r}{5}=4-\frac {r^{2}+4r}{8} $，解得$ r=\frac {12}{5} $（$ r=0 $舍去）。则$ x=4-\frac {4}{5}×\frac {12}{5}=\frac {52}{25} $，$ y=-\frac {3}{4}×\frac {52}{25}+3=\frac {36}{25} $，所以$ E(\frac {52}{25},\frac {36}{25}) $。(3)设$ AC=r $，$ E(x,y) $，由(2)知$ x=4-\frac {4r}{5} $，$ y=\frac {3r}{5} $。直线OE的方程为$ y=kx $，将$ E(x,y) $代入得$ k=\frac {y}{x}=\frac {3r}{20 - 4r} $。联立$ \begin{cases}y=\frac {3r}{20 - 4r}x \$x - 4)^{2}+y^{2}=r^{2}\end{cases} $，设$ OE=m $，$ OF=m + EF $，由韦达定理得$ x_{E}\cdot x_{F}=\frac {(4^{2}-r^{2})(20 - 4r)^{2}}{(20 - 4r)^{2}+9r^{2}} $，又$ x_{E}=x $，$ x_{F}=\frac {OE + EF}{OE}x $，所以$ OE\cdot EF=OF\cdot OE - OE^{2}=x_{F}\cdot x_{E}\cdot\frac {(20 - 4r)^{2}+9r^{2}}{9r^{2}} - (x^{2}+y^{2}) $。
化简得$ OE\cdot EF=-\frac {16}{25}r^{2}+\frac {64}{5}r=-\frac {16}{25}(r - 5)^{2}+\frac {16}{25}×25=-\frac {16}{25}(r - 5)^{2}+16 $。因为$ 0＜r＜\frac {16}{5} $，所以当$ r=\frac {16}{5} $时，$ OE\cdot EF $取得最大值，最大值为$ -\frac {16}{25}(\frac {16}{5}-5)^{2}+16=\frac {768}{25} $。