《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

18. (9分)某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量$y$（件）与销售单价$x$（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
(1)直接写出$y$与$x$的解析式___；
(2)求公司销售该商品获得的最大日利润；
(3)销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过$a$元，在日销售量$y$（件）与销售单价$x$（元）保持(1)中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求$a$的值.

答案：
(1)$y=-x + 120$
(2)利润$W=(x - 30)(-x + 120)=-x^2 + 150x - 3600=-(x - 75)^2 + 2025$，最大日利润为2025元
(3)成本增加后利润$W=(x - 40)(-x + 120)=-x^2 + 160x - 4800=-(x - 80)^2 + 1600$，当$W = 1500$时，$-(x - 80)^2 + 1600 = 1500$，$x = 70$或$90$，因$x\leq a$，且抛物线开口向下，当$a = 70$时，最大利润为1500元

19. (9分)如图所示，$AB$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$AD$和过$C$点的直线互相垂直，垂足为$D$，且$AC$平分$\angle DAB$.
(1)求证：$DC$为$\odot O$的切线；
(2)若$\odot O$的半径为3，$AD = 4$，求$AC$的长.

答案：
(1)连接$OC$，$AC$平分$\angle DAB$，$\angle DAC=\angle OAC$，$OA = OC$，$\angle OAC=\angle OCA$，$\angle DAC=\angle OCA$，$AD// OC$，$AD\perp CD$，$OC\perp CD$，$DC$为切线
(2)$AB = 6$，$AD// OC$，$\triangle ADC\sim\triangle ACB$，$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$AC^2=AD×AB=4×6 = 24$，$AC = 2\sqrt{6}$

20. (9分)某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查.整理样本数据，得到下列图表：
(1)理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；
(2)根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图；
(3)该校数学兴趣小组结合调查获得的信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地，请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议：___.

答案：
(1)不合理，样本不具有代表性（或不同年级上学方式可能不同）
(2)步行：$2000×10\% = 200$，骑车：$2000×34\% = 680$，乘公共交通工具：$2000×30\% = 600$，乘私家车：$2000×20\% = 400$，其他：$2000×6\% = 120$，绘制条形图（略）
(3)乘公共交通工具的学生较多，建议学校与公交公司协商增加公交线路或班次