《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

23. (10 分)小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图所示,点 D 是$\widehat {BC}$上一动点,线段$BC=8cm$,点 A 是线段 BC 的中点,过点 C 作$CF// BD$,交 DA 的延长线于点 F. 当$△DCF$为等腰三角形时,求线段 BD 的长度.
小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题. 请将下面的探究过程补充完整：
(1)根据点 D 在$\widehat {BC}$上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,FD的长度,得到下表的几组对应值;
| BD/cm | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 | 7.0 | 8.0 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| CD/cm | 8.0 | 7.7 | 7.2 | 6.6 | 5.9 | a | 3.9 | 2.4 | 0 |
| FD/cm | 8.0 | 7.4 | 6.9 | 6.5 | 6.1 | 6.0 | 6.2 | 6.7 | 8.0 |
操作中发现：
①“当点 D 为$\widehat {BC}$的中点时,$BD=5.0cm$",则上表中a的值是 _;
②“线段 CF 的长度无须测量即可得到”. 请简要说明理由；
(2)将线段 BD 的长度作为自变量 x,CD 与 FD 的长度都是 x 的函数,分别记为$y_{CD}$和$y_{FD}$,并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数$y_{FD}$的图象,如图所示,请在同一坐标系中画出函数$y_{CD}$的图象;
(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当$△DCF$为等腰三角形时,线段 BD 长度的近似值(结果保留一位小数).

答案：
(1)①5.0
②
∵CF//BD，
∴∠F=∠ADB，∠ACF=∠ABD，又
∵A是BC中点，
∴AB=AC，
∴△ABD≌△ACF(AAS)，
∴CF=BD
(2)图略
(3)2.3cm，5.0cm，7.7cm