《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

1.如图1所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)【问题发现】
①当α=0°时,$\frac{AE}{BD}$=_______；
②当α=180°时,$\frac{AE}{BD}$=_______；
(2)【拓展探究】
试判断:当0°≤α＜360°时,$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化?请仅就图2所示的情况给出证明；
(3)【问题解决】
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.

答案：
(1)①在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=8，BC=2AB，所以AB=4。
因为D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，DE=$\frac{1}{2}$AB=2，EC=$\frac{1}{2}$AC，DC=$\frac{1}{2}$BC=4。
当α=0°时，点E在AC上，点D在BC上，AE=AC - EC=$\frac{1}{2}$AC，BD=BC - DC=4。
AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}$，所以AE=2$\sqrt{5}$，则$\frac{AE}{BD}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
②当α=180°时，△EDC旋转至与△ABC共线，此时E在AC延长线上，D在BC延长线上，AE=AC + EC=$\frac{3}{2}$AC，BD=BC + DC=12。
AC=4$\sqrt{5}$，AE=6$\sqrt{5}$，则$\frac{AE}{BD}=\frac{6\sqrt{5}}{12}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(2)$\frac{AE}{BD}$的大小无变化，始终为$\frac{\sqrt{5}}{2}$。
证明：因为E是AC中点，D是BC中点，所以$\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}$，$\frac{DC}{BC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{EC}{DC}=\frac{AC}{BC}$。
由旋转性质知∠ECD=∠ACB=α，所以∠ECA=∠DCB。
所以△ECA∽△DCB，所以$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
(3)BD的长为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$或$\frac{24\sqrt{5}}{5}$