《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

9. 如图所示,在平面直角坐标系中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$ OC=2OB $,$ \tan\angle ABC=2 $,点B的坐标为$(1,0)$. 抛物线$ y=-x^{2}+bx+c $经过A,B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使$ PE=\frac {1}{2}DE $.
①求点P的坐标;
②在直线PD上是否存在点M,使$\triangle ABM$为直角三角形? 若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) 因为$ B(1,0) $，$ OC=2OB=2 $，所以$ C(-2,0) $。$ \tan\angle ABC=2=\frac {AC}{BC} $，$ BC=3 $，所以$ AC=6 $，$ A(-2,6) $。将$ A(-2,6) $，$ B(1,0) $代入抛物线，得$ \left\{\begin{array}{l} -4-2b+c=6\\ -1+b+c=0\end{array}\right. $，解得$ \left\{\begin{array}{l} b=-3\\ c=4\end{array}\right. $，抛物线解析式为$ y=-x^{2}-3x+4 $。
(2) ① 直线AB：设$ y=kx+d $，将$ A(-2,6) $，$ B(1,0) $代入，得$ y=-2x+2 $。设$ P(m,-m^{2}-3m+4) $，$ E(m,-2m+2) $，$ PE=-m^{2}-3m+4-(-2m+2)=-m^{2}-m+2 $，$ DE=-2m+2 $，由$ PE=\frac {1}{2}DE $，得$ -m^{2}-m+2=\frac {1}{2}(-2m+2) $，解得$ m=-1 $（$ m=1 $舍去），所以$ P(-1,6) $。
② 存在，$ M(-1,0) $或$ (-1,\frac {1}{6}) $或$ (-1,7) $或$ (-1,-1) $