《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

22. (10分)如图所示，已知等边$\triangle ABC$，$AB = 12$，以$AB$为直径的半圆与$BC$边交于点$D$，过点$D$作$DF\perp AC$，垂足为$F$，过点$F$作$FG\perp AB$，垂足为$G$，连接$GD$.
(1)求证：$DF$是$\odot O$的切线；
(2)求$FG$的长；
(3)求$\tan\angle FGD$的值.

答案：
(1)连接$OD$，$\triangle ABC$为等边三角形，$\angle B = 60°$，$OB = OD$，$\triangle OBD$为等边三角形，$\angle BOD = 60°=\angle A$，$OD// AC$，$DF\perp AC$，$OD\perp DF$，$DF$是切线
(2)$BD = OB = 6$，$CD = 6$，$CF = CD\cos60°=3$，$AF = 9$，$FG = AF\sin60°=9×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$
(3)$AG = AF\cos60°=\frac{9}{2}$，$OG = AB - AG - OB=12-\frac{9}{2}-6=\frac{3}{2}$，$GD=\sqrt{OG^2 + OD^2 - 2OG\cdot OD\cos120°}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 6^2 - 2×\frac{3}{2}×6×(-\frac{1}{2})}=\frac{3\sqrt{21}}{2}$，$\tan\angle FGD=\frac{FG}{GD}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{21}}{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$

23. (10分)已知：函数$y = ax^2 + x + 1$的图象与$x$轴只有一个公共点.
(1)求这个函数解析式；
(2)如图所示，设二次函数$y = ax^2 + x + 1$图象的顶点为$B$，与$y$轴的交点为$A$，$P$为图象上的一点，若以线段$PB$为直径的圆与直线$AB$相切于点$B$，求$P$点的坐标；
(3)在(2)中，若圆与$x$轴另一交点关于直线$PB$的对称点为$M$，试探索点$M$是否在抛物线$y = ax^2 + x + 1$上？若在抛物线上，求出$M$点的坐标；若不在，请说明理由.

答案：
(1)$\Delta=1 - 4a = 0$，$a=\frac{1}{4}$，函数解析式$y=\frac{1}{4}x^2 + x + 1$
(2)顶点$B(-2,0)$，$A(0,1)$，直线$AB$：$y=\frac{1}{2}x + 1$，$PB\perp AB$，$k_{PB}=-2$，直线$PB$：$y=-2(x + 2)$，联立抛物线方程得$P(2, - 8)$
(3)圆的圆心为$(0,-4)$，半径为$2\sqrt{5}$，与$x$轴另一交点为$(2,0)$，设$M(m,n)$，根据对称性质可得$M(-2,4)$，代入抛物线$y=\frac{1}{4}×(-2)^2 + (-2)+1=1 - 2 + 1=0\neq4$，不在抛物线上