《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

16.（10分）用适当的方法解下列方程.
（1）$x^{2}-2x = 2x + 1$；
（2）$(2y + 1)^{2}+3(2y + 1)+2 = 0$.

答案： （1）$x_{1}=2+\sqrt{5},x_{2}=2-\sqrt{5}$
解析：移项得$x^{2}-4x - 1 = 0$，$\Delta=16 + 4 = 20$，$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=2\pm\sqrt{5}$。
（2）$y_{1}=-1,y_{2}=-\frac{3}{2}$
解析：令$t = 2y + 1$，方程变为$t^{2}+3t + 2 = 0$，解得$t=-1$或$t=-2$，即$2y + 1=-1$或$2y + 1=-2$，解得$y=-1$或$y=-\frac{3}{2}$。

17.（9分）已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k + 1)x+\frac{1}{2}k^{2}-2 = 0$.
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}-x_{2}=3$，求k的值.

答案： （1）证明：$\Delta=(2k + 1)^{2}-4×1×(\frac{1}{2}k^{2}-2)=4k^{2}+4k + 1 - 2k^{2}+8=2k^{2}+4k + 9=2(k + 1)^{2}+7\gt0$，所以方程总有两个不相等的实数根。
（2）$k = 0$或$k=-4$
解析：由韦达定理$x_{1}+x_{2}=2k + 1$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}k^{2}-2$。$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=9$，代入得$(2k + 1)^{2}-4(\frac{1}{2}k^{2}-2)=9$，化简得$2k^{2}+4k + 1 + 8 - 9 = 0$，即$k^{2}+2k = 0$，解得$k = 0$或$k=-4$。

18.（9分）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克水果应涨价多少元？

答案： 5元
解析：设涨价$x$元，则$(10 + x)(500 - 20x)=6000$，化简得$x^{2}-15x + 50 = 0$，解得$x = 5$或$x = 10$，要使顾客实惠，取$x = 5$。