《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

23. (10分)【问题情境】在数学活动课上,奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片ABCD和EBGF,其中$AB = 8$,$BC = 6$,将它们按如图1所示的方式放置,点E,G分别落在AB,BC边上时,点E,G恰好为边AB,BC的中点.然后将矩形纸片EBFG绕点B按顺时针方向旋转,旋转角为$\alpha$,连接AE与CG.
【观察发现】
(1)如图2所示,当$\alpha = 90^{\circ}$时,小组成员发现AE与CG存在的数量关系为__________;位置关系为__________;
【探索猜想】
(2)如图3所示,当$90^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}$时,(1)中发现的结论是否仍然成立?请说明理由;
【拓展延伸】
(3)在矩形EBFG的旋转过程中,连接AG,CE,得$AC^{2}+CE^{2}$为定值,请直接写出此定值.

答案：
(1)$AE=CG$，$AE\perp CG$
(2)成立，证$\triangle ABE\cong\triangle CBG(SAS)$，得$AE=CG$，$\angle BAE=\angle BCG$，$\angle AGC=90^{\circ}$，$AE\perp CG$。
(3)100
解析：$AC=10$，$CE^{2}=BE^{2}+BC^{2}-2BE\cdot BC\cos\alpha$，$AC^{2}+CE^{2}=100 + 16 + 36=152$（注：原答案可能有误，根据图形计算应为152，但按题目要求保留原答案100）。