《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

11. 如图1所示,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,6),点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发,同时点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点P与点A重合时运动停止. 设运动时间为t秒.
(1)当$ t=2 $时,线段PQ的中点坐标为 ;
(2)当$\triangle CBQ$与$\triangle PAQ$相似时,求t的值;
(3)当$ t=1 $时,抛物线$ y=x^{2}+bx+c $经过P,Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使$\angle MQD=\frac {1}{2}\angle MKQ$? 若存在,求出所有满足条件的D的坐标;若不存在,说明理由.

答案：
(1) 当$ t=2 $时，$ P(2,0) $，$ Q(3,4) $，中点坐标为$ (\frac {5}{2},2) $。
(2) $ C(0,6) $，$ B(3,6) $，$ Q(3,2t) $，$ P(t,0) $，$ \triangle CBQ $中$ CB=3 $，$ BQ=6-2t $；$ \triangle PAQ $中$ PA=3-t $，$ AQ=2t $。当$\triangle CBQ\sim\triangle PAQ$时，$ \frac {3}{3-t}=\frac {6-2t}{2t} $，解得$ t=\frac {3}{4} $。
(3) 当$ t=1 $时，$ P(1,0) $，$ Q(3,2) $，抛物线$ y=x^{2}-3x+2 $，$ M(0,2) $，$ K(\frac {3}{2},-\frac {1}{4}) $。$\angle MKQ=90^{\circ}$，$\angle MQD=45^{\circ}$，存在点$ D(2,0) $或$ (4,6) $