《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

19. （9分）设$a=\sqrt{8 - x}$，$b=\sqrt{3x + 4}$，$c=\sqrt{x + 2}$。
（1）当$x$取什么实数时，$a$，$b$，$c$都有意义？
（2）若$a$，$b$，$c$为$Rt\triangle ABC$的三边长，求$x$的值。

答案： （1）要使$a$，$b$，$c$有意义，需$8 - x\geq0$，$3x + 4\geq0$，$x + 2\geq0$。
$8 - x\geq0\Rightarrow x\leq8$；$3x + 4\geq0\Rightarrow x\geq-\frac{4}{3}$；$x + 2\geq0\Rightarrow x\geq - 2$。
综上，$x\geq-\frac{4}{3}$且$x\leq8$。
（2）分三种情况：
①$a^2 + b^2 = c^2$：$8 - x + 3x + 4 = x + 2$，$2x + 12 = x + 2$，$x=-10$（不满足$x\geq-\frac{4}{3}$，舍去）。
②$a^2 + c^2 = b^2$：$8 - x + x + 2 = 3x + 4$，$10 = 3x + 4$，$3x=6$，$x=2$（满足）。
③$b^2 + c^2 = a^2$：$3x + 4 + x + 2 = 8 - x$，$4x + 6 = 8 - x$，$5x=2$，$x=\frac{2}{5}$（满足）。
综上，$x=2$或$x=\frac{2}{5}$。

20. （9分）甲、乙两人解答化简求值题：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+a^2 - 2}$，其中$a=\frac{1}{5}$，其解法如下：
甲：原式$=\frac{1}{a}+\sqrt{(\frac{1}{a}-a)^2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a=\frac{49}{5}$。
乙：原式$=\frac{1}{a}+\sqrt{(a - \frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a}+a - \frac{1}{a}=a=\frac{1}{5}$。
请问：谁的解答是错误的？说明理由。

答案： 乙的解答错误。
$\sqrt{(\frac{1}{a}-a)^2}=|a - \frac{1}{a}|$，$a=\frac{1}{5}$，$\frac{1}{a}=5$，$a - \frac{1}{a}=\frac{1}{5}-5=-\frac{24}{5}＜0$，$|a - \frac{1}{a}|=\frac{1}{a}-a$。
原式$=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a=10 - \frac{1}{5}=\frac{49}{5}$，甲正确，乙未考虑绝对值，错误。

21. （10分）如图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 60°$，$\angle C = 45°$，$AB=\sqrt{5}$，求$\triangle ABC$的周长。

答案： 过$A$作$AD\perp BC$于$D$，设$AD=h$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B = 60°$，$\sin60°=\frac{h}{AB}$，$h=AB\sin60°=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$；$\cos60°=\frac{BD}{AB}$，$BD=AB\cos60°=\sqrt{5}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle C = 45°$，$AD=CD=h=\frac{\sqrt{15}}{2}$，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{2}h=\frac{\sqrt{30}}{2}$。
$BC=BD + CD=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{2}$。
周长$=AB + BC + AC=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{30}}{2}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{15}+\sqrt{30}}{2}=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{15}+\sqrt{30}}{2}$。