《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

4.某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)【观察猜想】
如图1所示,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为:_______；②BC,CD,CF之间的数量关系为:_______；(将结论直接写在横线上)
(2)【数学思考】
如图2所示,当点D在线段CB的延长线上时,结论①②是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请你写出正确结论再给予证明；
(3)【拓展延伸】
如图3所示,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2$\sqrt{2}$,CD=$\frac{1}{4}$BC,请求出GE的长.

答案：
(1)①BC⊥CF；②BC=CD + CF
(2)结论①成立，②不成立，正确结论为BC=CF - CD。
证明：因为∠BAC=90°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°。
四边形ADEF是正方形，所以AD=AF，∠DAF=90°，所以∠BAD=∠CAF。
在△ABD和△ACF中，$\left\{ \begin{array}{l} AB = AC \\ ∠BAD = ∠CAF \\ AD = AF \end{array} \right.$，所以△ABD≌△ACF(SAS)，所以BD=CF，∠ABD=∠ACF=135°。
∠ACB=45°，所以∠BCF=∠ACF - ∠ACB=90°，即BC⊥CF。
因为BD=BC + CD，CF=BD，所以BC=CF - CD。
(3)在Rt△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{2}$，所以BC=$\sqrt{AB^2 + AC^2}$=4，CD=$\frac{1}{4}$BC=1，所以BD=BC + CD=5。
由
(2)知CF=BD=5，∠BCF=90°，所以△GBC是等腰直角三角形，CG=BC=4，所以FG=CF - CG=1。
过E作EH⊥CF于H，因为正方形ADEF，易证△ADB≌△FEH，EH=BD=5，FH=AB=2$\sqrt{2}$，所以GH=FH - FG=2$\sqrt{2}$-1。
在Rt△EGH中，GE=$\sqrt{EH^2 + GH^2}$=$\sqrt{5^2 + (2\sqrt{2}-1)^2}$=3$\sqrt{5}$