《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

5.【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图1所示放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图2所示位置.小莹用作图软件Geogebra按图2所示作出示意图,并连接AG,BH,如图3所示,AB交HO于E,AC交OG于F,通过证明△OBE≌△OAF,可得OE=OF.
请你证明:AG=BH；
【迁移应用】
延长GA分别交HO,HB所在直线于点P、D如图4所示,猜想并证明DG与BH的位置关系；
【拓展延伸】
小亮将图2中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图5所示,按图5所示作出示意图,并连接HB,AG,如图6所示,其他条件不变,请你猜想并证明AG与BH的数量关系.

答案： 【情境再现】因为△OBE≌△OAF，所以OB=OA，OE=OF，∠BOE=∠AOF。
∠EOG=∠FOH=90°，所以∠BOE + ∠EOH=∠AOF + ∠FOG，即∠BOH=∠AOG。
在△BOH和△AOG中，$\left\{ \begin{array}{l} OB = OA \\ ∠BOH = ∠AOG \\ OH = OG \end{array} \right.$，所以△BOH≌△AOG(SAS)，所以AG=BH。
【迁移应用】DG⊥BH。
证明：由△BOH≌△AOG得∠OAG=∠OBH，因为∠OEB=∠AED，所以∠ADE=∠BOE=90°，所以DG⊥BH。
【拓展延伸】AG=$\sqrt{3}$BH。
证明：在含30°角的直角三角尺中，$\frac{OA}{OB}=\tan60°=\sqrt{3}$，$\frac{OG}{OH}=\tan60°=\sqrt{3}$，所以$\frac{OA}{OB}=\frac{OG}{OH}$。
∠BOH=∠AOG，所以△BOH∽△AOG，所以$\frac{AG}{BH}=\frac{OA}{OB}=\sqrt{3}$，即AG=$\sqrt{3}$BH