《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

19. (9分)电动切割机以其高效、准确和便捷的特点,成为现代工作中不可或缺的工具,图1是从电动切割机抽象出来的几何模型,ON为固定台,切割片$\odot A$与摆臂OM相切于点P,图2是切割机完成工作时候的模型图,此时切割片$\odot B$与ON相切.已知切割片的半径为30 cm,转轴OA长是60 cm,$\angle MON = 90^{\circ}$(此次切割片在工作时候的磨损忽略不计).
(1)求图2中点B到OM的距离;
(2)求砂轮工作前后,圆心A运动轨迹长度.

答案：
(1)连接BP，$BP\perp ON$，$BP=30$，$OB=OA=60$，点B到OM的距离为$OB\sin\angle BOM=60×\frac{1}{2}=30$cm。
(2)$\angle AOB=60^{\circ}$，轨迹长度为$\frac{60\pi×60}{180}=20\pi$cm。

20. (9分)汝南著名传统土特产品“五香大头菜”、“鸡汁豆腐干”深受广大消费者喜爱.已知2件大头菜和1件豆腐干进货价为160元,1件大头菜和3件豆腐干进货价为180元.
(1)分别求出每件大头菜、豆腐干的进价;
(2)某特产店计划购进大头菜、豆腐干共60件,且大头菜的数量不高于豆腐干数量的$\frac{1}{3}$.若该特产店每件大头菜售价为80元,每件豆腐干售价为55元,怎样进货可使该特产店获得利润最大,最大利润为多少元?

答案：
(1)设大头菜进价x元，豆腐干进价y元，$\begin{cases}2x + y=160 \\x + 3y=180\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=60 \\y=40\end{cases}$。
(2)设大头菜a件，豆腐干$(60 - a)$件，$a\leq\frac{1}{3}(60 - a)$，$a\leq15$。利润$W=(80 - 60)a+(55 - 40)(60 - a)=5a + 900$，a=15时，$W=975$元，即大头菜15件，豆腐干45件，最大利润975元。