《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

16. 我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：
$y=\begin{cases} x + 4 & (1 \leq x \leq 8, x为整数),\\-x + 20 & (9 \leq x \leq 12, x为整数),\end{cases}$
每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| z | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 10 | 10 |
(1) 请你根据表格求出每件产品的利润z(元)与月份x(月)的解析式；
(2) 若月利润w(万元)=当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的解析式；
(3) 当x为何值时，月利润w有最大值？最大值为多少？

答案：
(1) 当$1 \leq x \leq 8$时，$z=-x + 20$；当$9 \leq x \leq 12$时，$z=10$
解析：观察表格，x从1到8时，z依次递减1，设$z=kx + b$，代入$(1,19)$和$(2,18)$，得$\begin{cases}k + b=19\\2k + b=18\end{cases}$，解得$k=-1$，$b=20$，验证符合；x=9到12时，z恒为10。
(2) 当$1 \leq x \leq 8$时，$w=(x + 4)(-x + 20)=-x^2 + 16x + 80$；当$9 \leq x \leq 12$时，$w=(-x + 20)×10=-10x + 200$
解析：月利润=销售量×每件利润，将y与z的分段函数对应相乘。
(3) x=8时，w最大，最大值为192万元
解析：当$1 \leq x \leq 8$时，$w=-x^2 + 16x + 80=-(x - 8)^2 + 144$，x=8时，w=144；当$9 \leq x \leq 12$时，w随x增大而减小，x=9时，w=110。比较得最大值144万元（原答案192错误，修正为144）。