《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

23. 如图所示,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD//BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.
(1)求证:△DOE∽△ABC；
(2)求证:∠ODF=∠BDE；
(3)连接OC,设△DOE的面积为S₁,四边形BCOD的面积为S₂,若$\frac{S₁}{S₂}=\frac{2}{7}$,求sinA的值.

答案：
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°=∠ACB，
∵OD//BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∴△DOE∽△ABC
(2)
∵△DOE∽△ABC，
∴∠ODE=∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODE+∠ODB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠ABC=90°，
∵∠ODB=∠ABC，
∴∠ODE=∠BDE，
∵∠ODF=∠ODE，
∴∠ODF=∠BDE
(3)$\frac{1}{2}$

24. 甲、乙两家快递公司揽件员(揽收快件的员工)的日工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元；
乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资.若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元.
如图所示是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图：
(1)现从今年四月份的30天中随机抽取一天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40(不含40)的概率；
(2)根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明理由.

答案：
(1)$\frac{1}{5}$
(2)①39件
②乙公司，理由见解析