《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

6.【问题情境】
如图1所示,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F,连接DE.
【猜想证明】
(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由；
(2)如图2所示,若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
【解决问题】
(3)如图1所示,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.

答案：
(1)四边形BE'FE是正方形。
理由：因为△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE'，所以∠AEB=∠CE'B=90°，BE=BE'，∠ABE=∠CBE'。
∠ABC=90°，所以∠EBE'=90°，又因为∠AEB=90°，所以四边形BE'FE是矩形，且BE=BE'，所以是正方形。
(2)CF=FE'。
证明：连接BD，因为DA=DE，AD=CD，所以DE=CD，∠DEC=∠DCE。
由旋转知CE'=AE，∠BCE'=∠BAE，在正方形ABCD中，∠BAC=∠BCA=45°，所以∠BAE + ∠EAC=∠BCE' + ∠FCE=45°，即∠EAC=∠FCE。
∠DEC=∠EAC + ∠ACE，∠DCE=∠FCE + ∠DCF，所以∠ACE=∠DCF，又因为AC=BD，∠CAD=∠CBD=45°，所以△AEC≌△BFC，CF=CE'=FE'。
(3)DE=3$\sqrt{10}$