《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

21. (10分)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,问:
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?

答案：
(1)设降价x元，$(40 - x)(20 + 2x)=1200$，$800+80x-20x-2x^{2}=1200$，$x^{2}-30x + 200 = 0$，解得$x = 10$或$x = 20$，因尽快减少库存，取$x = 20$。
(2)设盈利为y元，$y=(40 - x)(20 + 2x)=-2x^{2}+60x + 800=-2(x - 15)^{2}+1250$，当$x = 15$时，y最大为1250元。

22. (10分)观察下列各式及其变形过程:
$2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}=\sqrt{\frac{2(2^{2}-1)+2}{2^{2}-1}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$
(1)按上述等式及其验证过程的基本思路,猜想$3\sqrt{\frac{3}{8}}$的变形结果并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为自然数,n≥2)表示的等式,并证明;
(3)仿上面规律,写出用n表示下列各式的规律:
$2\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{2-\frac{2}{5}},3\sqrt{\frac{3}{10}}=\sqrt{3-\frac{3}{10}},\cdots\cdots$(不要求证明).

答案：
(1)猜想$3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$，验证：$\sqrt{\frac{3^{3}}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$。
(2)$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$，证明：$\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$。
(3)$n\sqrt{\frac{n}{n^{2}+1}}=\sqrt{n-\frac{n}{n^{2}+1}}$。