《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

21. (10分)$AB$是$\odot O$的直径，点$C$是$\odot O$上一点，连接$AC$，$BC$，直线$MN$过点$C$，满足$\angle BCM=\angle BAC=\alpha$.
(1)如图1所示，求证：直线$MN$是$\odot O$的切线；
(2)如图2所示，点$D$在线段$BC$上，过点$D$作$DH\perp MN$于点$H$，直线$DH$交$\odot O$于点$E$，$F$，连接$AF$并延长交直线$MN$于点$G$，连接$CE$，且$CE=\frac{5}{3}$，若$\odot O$的半径为1，$\cos\alpha=\frac{3}{4}$，求$AG\cdot ED$的值.

答案：
(1)连接$OC$，$AB$为直径，$\angle ACB = 90°$，$\angle BAC+\angle ABC = 90°$，$\angle BCM=\angle BAC$，$\angle OCB=\angle ABC$，$\angle BCM+\angle OCB = 90°$，$OC\perp MN$，$MN$是切线
(2)由$\cos\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$，$AB = 2$，$AC=\frac{3}{2}$，$BC=\frac{\sqrt{7}}{2}$，通过相似三角形可得$AG\cdot ED=\frac{25}{9}$（过程略）