《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

7. 如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线$ y=ax^{2}+bx+3 $经过$ A(-1,0),B(3,0) $两点,且与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2所示,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P,Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方的抛物线上有一动点D,连接DP,DQ.
①若点P的横坐标为$-\frac {1}{2}$,求$\triangle DPQ$面积的最大值,并求此时点D的坐标;
②在直尺平移的过程中,$\triangle DPQ$的面积是否有最大值? 若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.

答案：
(1) 将$ A(-1,0) $，$ B(3,0) $代入$ y=ax^{2}+bx+3 $，得$ \left\{\begin{array}{l} a-b+3=0\\ 9a+3b+3=0\end{array}\right. $，解得$ \left\{\begin{array}{l} a=-1\\ b=2\end{array}\right. $，所以抛物线解析式为$ y=-x^{2}+2x+3 $。
(2) ① 因为点P的横坐标为$-\frac {1}{2}$，直尺宽4，所以点Q的横坐标为$-\frac {1}{2}+4=\frac {7}{2}$。则$ P(-\frac {1}{2},-(-\frac {1}{2})^{2}+2×(-\frac {1}{2})+3)=\frac {7}{4} $，$ Q(\frac {7}{2},-(\frac {7}{2})^{2}+2×\frac {7}{2}+3)=-\frac {9}{4} $。设$ D(t,-t^{2}+2t+3) $，$-\frac {1}{2}\leq t\leq\frac {7}{2}$，$ S_{\triangle DPQ}=\frac {1}{2}×4×[(-t^{2}+2t+3)-(-\frac {1}{2}t+\frac {5}{4})]= -2t^{2}+5t+\frac {7}{2} $，当$ t=\frac {5}{4} $时，最大值为$\frac {81}{8}$，此时$ D(\frac {5}{4},\frac {75}{16}) $。
② 设点P的横坐标为t，则Q的横坐标为$ t+4 $，$ P(t,-t^{2}+2t+3) $，$ Q(t+4,-(t+4)^{2}+2(t+4)+3) $，直线PQ的解析式为$ y=-(2t+4)x+t^{2}+4t+3 $。$ S_{\triangle DPQ}=-2(t-1)^{2}+8 $，当$ t=1 $时，最大值为8。