《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

22.(10分)因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P₁处的临皋亭和P₂处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向.
(1)求A处到临皋亭P₁处的距离；
(2)求临皋亭P₁处与遗爱亭P₂处之间的距离.(计算结果保留根号)

答案：
(1)过点$P_1$作$P_1D\perp AC$于点$D$，设$P_1D = x$。
在$Rt\triangle P_1AD$中，$\angle P_1AD = 45°$，则$AD = P_1D = x$，$AP_1=\sqrt{2}x$。
$AC=AB + BC=600 + 400=1000m$，$CD=AC - AD=1000 - x$。
在$Rt\triangle P_1CD$中，$\angle P_1CD = 30°$，$\tan30°=\frac{P_1D}{CD}=\frac{x}{1000 - x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
解得$x = 500(\sqrt{3}-1)$，$AP_1=\sqrt{2}x=500\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=500(\sqrt{6}-\sqrt{2})m$。
(2)过点$P_2$作$P_2E\perp AC$于点$E$，设$P_2E = y$。
在$Rt\triangle P_2AE$中，$\angle P_2AE = 45°$，$AE = P_2E = y$。
在$Rt\triangle P_2BE$中，$\angle P_2BE = 75°$，$BE = AE - AB=y - 600$，$\tan75°=\frac{P_2E}{BE}=\frac{y}{y - 600}=2+\sqrt{3}$。
解得$y = 600(\sqrt{3}+1)$，$AE = y = 600(\sqrt{3}+1)$，$DE=AE - AD=600(\sqrt{3}+1)-500(\sqrt{3}-1)=100\sqrt{3}+1100$。
$P_1P_2=\sqrt{(P_1D - P_2E)^2 + DE^2}$（此处$P_1D ＜ P_2E$，用$P_2E - P_1D$），代入得$P_1P_2=200\sqrt{6}m$。
(1)$500(\sqrt{6}-\sqrt{2})m$；
(2)$200\sqrt{6}m$

23.(10分)如图所示，海面上产生了一股强台风.台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里.
(1)过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
(2)据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响(假设台风在移动过程中风力保持不变).问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由.(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，√3≈1.73)

答案：
(1)由题意得$\angle MAB = 60°$，$\angle ABP = 30°$，$\angle NBC = 29°$，$\angle ABC=180° - 30° - 29°=121°$，$\angle PBC=\angle ABC - \angle ABP=121° - 90°=31°$。
(2)在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 30°$，$\angle ACB=29°$，由正弦定理$\frac{BC}{\sin30°}=\frac{AC}{\sin121°}$，$AC = 200$海里，$BC=\frac{200\sin30°}{\sin121°}\approx\frac{100}{0.86}\approx116.28$海里。
$BP = BC\sin31°\approx116.28×0.52\approx60.47$海里$＞50$海里，不会受影响。
(1)$31°$；
(2)不会受到影响