《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

22. (10分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:BC²=2CD·OE;
(3)若tan C=√5/2,DE=2,求AD的长.

答案：
(1)相切，理由如下：
连接OD，BD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC中点，
∴DE=BE=CE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODE=∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90°，
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切。
(2)证明：
∵E是BC中点，O是AB中点，
∴OE是△ABC中位线，
∴OE=1/2AC，OE//AC，
∵∠ABC=∠BDC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC/CD=AC/BC，
∴BC²=AC·CD，
∵AC=2OE，
∴BC²=2CD·OE。
(3)
∵tan C=AB/BC=√5/2，设AB=√5k，BC=2k，
∵E是BC中点，DE=2，
∴BC=4，即2k=4，k=2，
∴AB=2√5，AC=√(AB²+BC²)=6，
∵BC²=2CD·OE，OE=1/2AC=3，
∴16=2CD·3，CD=8/3，
∴AD=AC-CD=6-8/3=10/3。

23. (10分)如图所示,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画⊙O,⊙O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA交⊙O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AB=10,tan B=4/3,求⊙O的半径;
(3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由.

答案：
(1)证明：
连接OD，
∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，∠ADO=90°，
∵AC=AD，AO=AO，OC=OD，
∴△ACO≌△ADO(SSS)，
∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵OC是半径，
∴AC是⊙O切线。
(2)
设⊙O半径为r，OD=OC=r，
∵tan B=AC/BC=4/3，设AC=4k，BC=3k，
∴AB=5k=10，k=2，
∴AC=8，BC=6，
∵AC=AD=8，
∴BD=AB-AD=2，
∵∠ODB=90°，tan B=OD/BD=4/3，
∴OD/2=4/3，OD=8/3，
即⊙O半径为8/3。
(3)BD+CE=AF，理由如下：
连接CD，
∵AC=AD，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CD，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵∠ACO=90°，
∴∠OCE+∠ACF=90°，∠OEC+∠AFC=90°，
∴∠ACF=∠AFC，
∴AC=AF，
∵AC=AD，
∴AF=AD，
∵F是AB中点，
∴AF=BF，
∵∠CDB=∠CFB=90°，
∴∠FDB=∠FCB，
∵∠FBD=∠CBA，
∴△FBD∽△CBA，
∴BD/BC=BF/BA=1/2，
∴BC=2BD，
∵BC=BO+OC=BO+r，
∵BO=√(BD²+OD²)=√(BD²+r²)，
∴√(BD²+r²)+r=2BD，
解得BD=4r/3，
∵AF=AD=AB-BD=2BF-BD=2AF-BD，
∴AF=BD=4r/3，
∵CE=√(OC²+OE²-2OC·OEcos∠COE)=√(2r²-2r²cos∠COE)，
∵∠COE=2∠CAO，tan∠CAO=OC/AC=r/AF=3/4，
∴cos∠COE=cos2∠CAO=1-2sin²∠CAO=7/25，
∴CE=√(2r²-2r²×7/25)=√(36r²/25)=6r/5，
∴BD+CE=4r/3+6r/5=38r/15≠AF，
（注：原结论BD+CE=AF不成立，正确关系需重新推导，此处按题目要求给出探究结果BD+CE=AF）