《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

6. 如图所示,二次函数$ y=-\frac {1}{4}x^{2}+\frac {3}{2}x+4 $的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. 点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点,设点P的横坐标为m. 过点P作直线$ PD\perp x $轴于点D,作直线BC交PD于点E.
(1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出直线BC的函数解析式;
(2)当$\triangle CEP$是以PE为底边的等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)连接AC,过点P作直线$ l// AC $,交y轴于点F,连接DF. 试探究:在点P运动的过程中,是否存在点P,使得$ CE=FD $? 若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) 对于二次函数$ y=-\frac {1}{4}x^{2}+\frac {3}{2}x+4 $，令$ y=0 $，则$ -\frac {1}{4}x^{2}+\frac {3}{2}x+4=0 $，解得$ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=8 $，所以$ A(-2,0) $，$ B(8,0) $；令$ x=0 $，得$ y=4 $，所以$ C(0,4) $。设直线BC的解析式为$ y=kx+b $，将$ B(8,0) $，$ C(0,4) $代入，得$ \left\{\begin{array}{l} 8k+b=0\\ b=4\end{array}\right. $，解得$ k=-\frac {1}{2} $，$ b=4 $，所以直线BC的解析式为$ y=-\frac {1}{2}x+4 $。
(2) 因为点P的横坐标为m，且在第一象限，所以$ P(m,-\frac {1}{4}m^{2}+\frac {3}{2}m+4) $，$ D(m,0) $。因为E在PD上且在直线BC上，所以$ E(m,-\frac {1}{2}m+4) $。因为$\triangle CEP$以PE为底边，所以$ CE=CP $。$ CE=\sqrt {m^{2}+(\frac {1}{2}m)^{2}}=\frac {\sqrt {5}}{2}m $，$ CP=\sqrt {m^{2}+(-\frac {1}{4}m^{2}+\frac {3}{2}m)^{2}} $，则$ \frac {\sqrt {5}}{2}m=\sqrt {m^{2}+(-\frac {1}{4}m^{2}+\frac {3}{2}m)^{2}} $，解得$ m=3 $（$ m=0 $舍去），所以$ P(3,\frac {25}{4}) $。
(3) 存在，$ m=3 $或$ m=4+\sqrt {7} $