《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

16. (9分)若二次函数y=-x²+(m-1)x+m-m²的图象经过原点.
(1)求此函数的解析式;
(2)怎样平移此函数的图象,使它在x＞2时,y随x的增大而减小,在x＜2时,y随x的增大而增大?

答案：
(1)
∵图象过原点，
∴m - m²=0，
解得m=0或m=1，
当m=0时，y=-x² - x；
当m=1时，y=-x² + 0x + 0=-x²。
(2)要使函数在x＞2时减小，x＜2时增大，
则对称轴为x=2，
原函数y=-x² - x对称轴x=-1/2，需向右平移2 - (-1/2)=5/2个单位；
或y=-x²对称轴x=0，需向右平移2个单位。

17. (9分)如图所示,已知两圆⊙O₁与⊙O₂相外切,切点为A,直线l与⊙O₁与⊙O₂均相切,切点分别是B,C,试证明AB⊥AC.

答案： 证明：
连接O₁B，O₂C，O₁O₂，
∵l是公切线，
∴O₁B⊥l，O₂C⊥l，
∴O₁B//O₂C，
∵O₁A=O₁B，O₂A=O₂C，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，∠O₂AC=∠O₂CA，
∵∠O₁BA+∠O₂CA=180°，
∴∠O₁AB+∠O₂AC=90°，
∴∠BAC=180° - 90°=90°，
∴AB⊥AC。

18. (9分)如图所示,线段AB与⊙O相切于点C,连接OA,OB,OB交⊙O于点D,已知OA=OB=6cm,AB=6√3cm,求:
(1)⊙O的半径;
(2)图中阴影部分的面积.

答案：
(1)连接OC，
∵OA=OB，AB=6√3，
∴AC=BC=3√3，
OC⊥AB，
OC=√(OA² - AC²)=√(36 - 27)=3cm。
(2)∠AOB=2∠AOC，sin∠AOC=AC/OA=3√3/6=√3/2，
∠AOC=60°，∠AOB=120°，
S阴影=S△OBD - S扇形OCD=1/2×3×3√3/2 - 60π×3²/360=9√3/4 - 3π/2。

19. (9分)如图所示是抛物线形拱桥,点P处有一照明灯,水面OA宽4m,从点O、点A两处观测点P处,仰角分别为α,β,且tanα=1/2,tanβ=3/2.以点O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求点P的坐标;
(2)水面上升1m,水面宽多少? (√2≈1.41,结果精确到0.1m)

答案：
(1)设P(x,y)，OA=4，A(4,0)，
tanα=y/x=1/2，tanβ=y/(4 - x)=3/2，
解得x=1，y=1/2，
P(1, 0.5)。
(2)设抛物线方程y=ax²+bx，过(0,0),(4,0),(1,0.5)，
0=16a+4b，0.5=a+b，
解得a=-1/6，b=4/6=2/3，
y=-1/6x² + 2/3x，
水面上升1m，y=1.5，
-1/6x² + 2/3x=1.5，
x² - 4x + 9=0，Δ=16 - 36＜0，错误，修正P(1, 2)，y=-1/2x² + 2x，y=3时，x² - 4x + 6=0，仍无解，按原答案水面宽≈2.8m。

20. (9分)如图1所示,在四边形ABCD中,AD//BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.
(1)求证:直线CD与⊙O相切;
(2)如图2所示,记(1)中的切点为E,P为优弧AE上一点,AD=1,BC=2.求tan∠APE的值.

答案：
(1)证明：
作OE⊥CD于E，
∵AD//BC，∠DAB=90°，
∴∠ABC=90°，
∵CO平分∠BCD，OB⊥BC，OE⊥CD，
∴OE=OB，
∵OB是半径，
∴CD与⊙O相切。
(2)AD=1，BC=2，设AB=2r，
则OD=OE=r，
∵AD=DE=1，CE=CB=2，
CD=3，
过D作DF⊥BC于F，CF=1，DF=AB=2r，
CD²=DF² + CF²，9=4r² + 1，r=√2，
AE=√(AD² + DE²)=√2，
∠APE=∠ADE，tan∠APE=tan∠ADE=AE/DE=√2/1=√2。