《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

15.在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=mx(m＞0)与双曲线y=4/x交于A,C两点(点A在第一象限),直线y=nx(n＜0)与双曲线y=-1/x交于B,D两点.当这两条直线互相垂直,且四边形ABCD的周长为10√2时,点A的坐标为___.

答案： (2,2)或(1/2,8)
∵直线垂直，mn=-1，设A(a,4/a)，C(-a,-4/a)，B(b,-1/b)，D(-b,1/b)，AB=√((a - b)² + (4/a + 1/b)²)，周长=4AB=10√2，AB=5√2/2，解得a=2或1/2，点A(2,2)或(1/2,8)

16.如图所示,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,将△ABC绕点C旋转到△EDC,点E在⊙O上,已知AE=2,tan D=3,则AB=___.

答案： √10
连接BE，∠AEB=90°，设AB=2R，BE=3k，AE=k=2，BE=6，AB=√(AE² + BE²)=√(4 + 36)=√40=2√10，原答案有误应为2√10

17.已知T=(a + 3b)² + (2a + 3b)(2a - 3b) + a².
(1)化简T;
(2)若关于x的方程x² + 2ax - ab + 1=0有两个相等的实数根,求T的值.

答案：
(1)T=(a² + 6ab + 9b²) + (4a² - 9b²) + a²=6a² + 6ab
(2)Δ=4a² + 4ab - 4=0，a² + ab=1，T=6(a² + ab)=6×1=6

18.我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株,甲种树苗每株24元,乙种树苗每株30元.相关资料表明,甲、乙两种树苗的成活率分别为85%,90%.
(1)若购买这两种树苗共用去21000元,则甲、乙两种树苗各购买多少株?
(2)若要使这批树苗的总成活率不低于88%,则甲种树苗至多购买多少株?
(3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低?并求出最低费用.

答案：
(1)设甲x株，乙800 - x株，24x + 30(800 - x)=21000，解得x=500，乙300株
(2)0.85x + 0.9(800 - x)≥0.88×800，解得x≤320，甲至多320株
(3)费用W=24x + 30(800 - x)=-6x + 24000，x=320时，W最小=24000 - 6×320=22080元

19.如图所示,正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A,B两点,过点A作AC垂直x轴于点C,连接BC.若△ABC的面积为2.

答案：
(1)设A(a,2a)，则B(-a,-2a)，C(a,0)，S△ABC=1/2×2a×2a=2a²=2，a=1，k=2×1=2
(2)存在，设D(d,0)，①∠ADB=90°，AD² + BD²=AB²，(d - 1)² + 4 + (d + 1)² + 4=32，d=±2√2；②∠BAD=90°，AD² + AB²=BD²，(d - 1)² + 4 + 32=(d + 1)² + 4，d=8；③∠ABD=90°，同理d=-8，共5个点