《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

8. 如图所示,抛物线$ y=ax^{2}+6x+c $交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线$ y=x-5 $经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线交直线BC于点M.
①当$ AM\perp BC $时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合)作直线AM的平行线,交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;
②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于$\angle ACB$的2倍时,请直接写出点M的坐标.

答案：
(1) 在直线$ y=x-5 $中，令$ y=0 $，得$ x=5 $，所以$ B(5,0) $；令$ x=0 $，得$ y=-5 $，所以$ C(0,-5) $。将$ B(5,0) $，$ C(0,-5) $代入抛物线$ y=ax^{2}+6x+c $，得$ \left\{\begin{array}{l} 25a+30+c=0\\ c=-5\end{array}\right. $，解得$ a=-1 $，$ c=-5 $，所以抛物线解析式为$ y=-x^{2}+6x-5 $。
(2) ① 抛物线$ y=-x^{2}+6x-5 $与x轴交于$ A(1,0) $，$ B(5,0) $。直线BC：$ y=x-5 $，$ k_{BC}=1 $，所以$ k_{AM}=-1 $，直线AM：$ y=-x+1 $，联立$ \left\{\begin{array}{l} y=-x+1\\ y=x-5\end{array}\right. $，得$ M(3,-2) $，$ AM=2\sqrt {2} $。设$ P(m,-m^{2}+6m-5) $，$ Q(n,n-5) $，因为$ PQ// AM $且$ PQ=AM $，则$ \left\{\begin{array}{l} \frac {n-5-(-m^{2}+6m-5)}{n-m}=-1\\ \sqrt {(n-m)^{2}+(n-5+m^{2}-6m+5)^{2}}=2\sqrt {2}\end{array}\right. $，解得$ m=5+\sqrt {2} $或$ 5-\sqrt {2} $或$ 3 $。
② $ M(2,-3) $或$(\frac {20}{3},-\frac {5}{3})$