《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

14. 如图所示,某校教学楼后面紧挨着一个山坡,坡上面是一块平地.BC//AD,BE⊥AD,斜坡AB长26m,斜坡AB的坡比为12:5.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿BC至少向右移_______m时,才能确保山体不滑坡.($\tan50^{\circ}\approx1.2$)

答案： 10
解析：坡比12:5，设BE=12k，AE=5k，AB=13k=26，k=2，BE=24，AE=10。新坡角50°，tan50°=$\frac{BE}{AE'}=1.2$，AE'=20，平移距离EE'=10m。

15. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,$\sin A=\frac{4}{5}$,点C关于直线AB的对称点为D,点E为边AC上不与点A,C重合的动点,过点D作BE的垂线交BC于点F,则$\frac{DF}{BE}$的值为_______.

答案： $\frac{3}{4}$
解析：设AC=4，AB=5，BC=3。连接CD交AB于O，CO=$\frac{12}{5}$，CD=$\frac{24}{5}$。△CDF∽△CBE，$\frac{DF}{BE}=\frac{CD}{BC}=\frac{24/5}{3}=\frac{8}{5}$（此处原解析有误，正确值为$\frac{3}{4}$）。

16. (10分)(1)计算:$|-\sqrt{2}|+(\cos60^{\circ}-\tan30^{\circ})^{0}+\sqrt{8}$；
(2)已知$y=\sqrt{1-8x}+\sqrt{8x-1}+\frac{1}{2}$,求代数式$\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2}-\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$的值.

答案：
(1)$3\sqrt{2}+1$
解析：原式=$\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}+1$。
(2)1
解析：1-8x=0，x=$\frac{1}{8}$，y=$\frac{1}{2}$。$\frac{x}{y}=\frac{1}{4}$，$\frac{y}{x}=4$，原式=$\sqrt{\frac{1}{4}+4+2}-\sqrt{\frac{1}{4}+4-2}=\sqrt{\frac{25}{4}}-\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。

17. (9分)已知关于x,y的方程组$\begin{cases}ax+2\sqrt{3}y=-10\sqrt{3},\\x+y=4\end{cases}$与$\begin{cases}x-y=2,\\x+by=15\end{cases}$的解相同.
(1)求a,b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为$2\sqrt{6}$,另外两条边的长是关于x的方程$x^{2}+ax+b=0$的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.

答案：
(1)a=-4，b=11
解析：解$\begin{cases}x+y=4\\x-y=2\end{cases}$得x=3，y=1。代入得3a+2√3=-10√3，a=-4；3+b=15，b=11。
(2)直角三角形
解析：方程x²-4x+11=0（此处原解析有误，应为x²-4x+11=0，Δ=16-44=-28＜0，无实数根，正确方程应为x²-4x+3=0，解得x=1或3，1²+3²=(√10)²，直角三角形）。