《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

23.(10分)如图所示,抛物线$y=-\frac {1}{2}x^{2}+bx+c$与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,连接BC,点P是线段BC上的动点(与点B,C不重合),连接AP并延长AP交抛物线于点Q,连接CQ,BQ,设点Q的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)当△BCQ的面积等于2时,求m的值;
(3)在点P运动过程中,$\frac {PQ}{AP}$是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)将点A(-1,0)、B(4,0)代入抛物线$y=-\frac {1}{2}x^{2}+bx+c$，得
$\begin{cases}-\frac {1}{2}×(-1)^{2}+b×(-1)+c=0 \\-\frac {1}{2}×4^{2}+b×4+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=\frac {3}{2} \\c=2\end{cases}$
抛物线解析式为$y=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {3}{2}x+2$。
当$x=0$时，$y=2$，点C的坐标为(0,2)。
(2)设直线BC的解析式为$y=kx+d$，将B(4,0)、C(0,2)代入，得
$\begin{cases}4k+d=0 \\d=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac {1}{2} \\d=2\end{cases}$
直线BC的解析式为$y=-\frac {1}{2}x+2$。
点Q的横坐标为m，点Q在抛物线上，点Q的坐标为$(m,-\frac {1}{2}m^{2}+\frac {3}{2}m+2)$。
$S_{\triangle BCQ}=S_{\triangle ACQ}-S_{\triangle ACB}$（或其他面积拆分方法），由坐标可得
$\frac {1}{2}×4×|-\frac {1}{2}m^{2}+\frac {3}{2}m+2 - 2|=2$
化简得$| -m^{2}+3m|=1$
当$-m^{2}+3m=1$时，$m^{2}-3m + 1=0$，解得$m=\frac {3\pm\sqrt {5}}{2}$
当$-m^{2}+3m=-1$时，$m^{2}-3m - 1=0$，解得$m=\frac {3\pm\sqrt {13}}{2}$
经检验，$m=\frac {3+\sqrt {13}}{2}$（舍去），$m=\frac {3-\sqrt {13}}{2}$（舍去），所以$m=\frac {3+\sqrt {5}}{2}$或$m=\frac {3-\sqrt {5}}{2}$。
(3)存在。设直线AP的解析式为$y=k(x + 1)$，与直线BC交于点P，与抛物线交于点Q。
联立$\begin{cases}y=k(x + 1) \\y=-\frac {1}{2}x + 2\end{cases}$，得点P的横坐标$x_{P}=\frac {2 - k}{k+\frac {1}{2}}$
联立$\begin{cases}y=k(x + 1) \\y=-\frac {1}{2}x^{2}+\frac {3}{2}x + 2\end{cases}$，得$-\frac {1}{2}x^{2}+(\frac {3}{2}-k)x + 2 - k=0$
由韦达定理得$x_{A}x_{Q}=\frac {2 - k}{-\frac {1}{2}}=2(k - 2)$，$x_{A}=-1$，所以$x_{Q}=2(2 - k)$
$\frac {PQ}{AP}=\frac {x_{Q}-x_{P}}{x_{P}-x_{A}}=\frac {2(2 - k)-\frac {2 - k}{k+\frac {1}{2}}}{\frac {2 - k}{k+\frac {1}{2}}+1}$
化简得$\frac {PQ}{AP}=\frac {4k^{2}-6k + 2}{2k + 1}$，设$t=2k + 1$，则$k=\frac {t - 1}{2}$
代入得$\frac {PQ}{AP}=t+\frac {4}{t}-5$，当$t=2$时，最大值为$-1$，即最大值为1。