《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

23.（10分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图1所示，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
（3）如图2所示，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.

答案： （1）证明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形（AC=CD），
在△BCD和△BAC中，∠B=∠B，∠BCD=∠A=40°，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线；
（2）解：当AD=CD时，∠ACD=∠A=48°，
∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°；
当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=(180°-48°)/2=66°，
∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°；
当AC=CD时，∠ADC=∠A=48°，
∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC=∠BCD+∠B，
∴∠B=∠ADC-∠BCD=0°，不符合题意，
综上，∠ACB=96°或114°；
（3）解：
∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AC=AD=2，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
设BD=x，CD=y，
则BC/BA=BD/BC=CD/AC，
∵AC=AD=2，
∴AB=AD+BD=2+x，
∵BC=√2，AC=2，
∴√2/(2+x)=x/√2=y/2，
由√2/(2+x)=x/√2得：x(2+x)=2，
解得x=√3-1（负值舍去），
由√2/(2+x)=y/2得：y=2√2/(2+x)=2√2/(√3+1)=√6-√2，
即CD=√6-√2.