《2025年全程测评试卷九年级数学全一册华师大版》

31. 在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图1所示,当点D落在BC边上时,求点D的坐标；
(2)如图2所示,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.
①求证:△ADB≌△AOB；
②求点H的坐标；
(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).

答案：
(1)$(\frac{8}{5},3)$
(2)①
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB=AC=3，OA=BC=5，∠OBC=∠OAC=90°，由旋转得AD=AO=5，DE=OB=3，∠ADE=∠AOB=90°，
∵点D落在线段BE上，
∴∠ADB=∠AOB=90°，在Rt△ADB和Rt△AOB中，AD=AO，AB=AB，
∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL)
②$(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$
(3)$\frac{39}{20}≤S≤\frac{39}{4}$

32. 已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB//DC,CB⊥AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发,以QA,QP为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为t(s),0＜t＜5.根据题意解答下列问题:
(1)用含t的代数式表示AP；
(2)设四边形CPQB的面积为S(cm²),求S与t的函数解析式；
(3)当QP⊥BD时,求t的值；
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻,使点E在∠ABD的平分线上？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)AP=10-2t
(2)S=$\frac{6}{5}t²-\frac{54}{5}t+72$
(3)$t=\frac{10}{3}$
(4)存在，$t=\frac{16}{9}$