《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (12 分)如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ CD $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ C $,与 $ AB $ 的延长线交于点 $ D $,$ DE \perp AD $ 且与 $ AC $ 的延长线交于点 $ E $。
(1)求证：$ DC = DE $；
(2)若 $ \tan \angle CAB = \frac{1}{2} $,$ AB = 3 $,求 $ BD $ 的长。

答案：
(1)证明:连接OC，
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
∴∠ACO+∠DCE=90°,又
∵ED⊥AD,
∴∠EDA=90°,
∴∠EAD+∠E=90°,
∵OC=OA,
∴∠ACO=∠EAD,
∴∠DCE=∠E,
∴DC=DE.
(2)解:设BD=x,则AD=3+x,OD=1.5+x,在Rt△EAD中，
∵tan∠CAB=$\frac{1}{2}$,
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$(3+x),由
(1)知,DC=$\frac{1}{2}$(3+x),在Rt△OCD中,OC²+CD²=DO²,即1.5²+[$\frac{1}{2}$(3+x)]²=(1.5+x)²,解得x₁=-3(舍去),x₂=1,故BD=1.

20. (12 分)如图,公园中有一条人工河,河两岸 $ PQ $、$ MN $ 互相平行,河岸 $ PQ $ 上有一排间隔为 50 米的彩灯柱 $ C $、$ D $、$ E $、…,某人在河岸 $ MN $ 的 $ A $ 处测得 $ \angle DAN = 21^{\circ} $,然后沿河岸走了 175 米到达 $ B $ 处,测得 $ \angle CBN = 45^{\circ} $,求这条河的宽度。(参考数据：$ \sin 21^{\circ} \approx \frac{9}{25} $,$ \tan 21^{\circ} \approx \frac{3}{8} $)

答案： 解:如图，过点A作AS⊥PQ,过点C作CT⊥MN，垂足分别为S、T.由题意知四边形ATCS为矩形,
∴AS=CT,SC=AT.设这条河的宽度为x米.在Rt△ADS中，
∵tan∠ADS=$\frac{AS}{SD}$,
∴SD=$\frac{AS}{tan∠ADS}$=$\frac{x}{tan21^{\circ}}$≈$\frac{8}{3}$x(米).在Rt△BCT中，
∵∠CBT=45°,
∴BT=CT=x米.
∵SD+DC=AB+BT,
∴$\frac{8}{3}$x+50=175+x,解得x=75.故这条河的宽度约为75米.

21. (13 分)如图,港口 $ A $ 在观测站 $ O $ 的正东方向,$ OA = 4\mathrm{km} $,某船从港口 $ A $ 出发,沿北偏东 $ 15^{\circ} $方向航行一段距离后到达 $ B $ 处,此时从观测站 $ O $ 处测得该船位于北偏东 $ 60^{\circ} $的方向,求该船航行的距离(即 $ AB $ 的长)。

答案： 解:如图，过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中，
∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4km,
∴AD=$\frac{1}{2}$OA=2km.在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,
∴BD=AD=2km,
∴AB=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$km.
∴该船航行的距离(即AB的长)为2$\sqrt{2}$km.