《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

18. (12 分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$O为BC$边上一点,以点$O$为圆心,$OB长为半径的圆与边AB相交于点D$,连接$DC$,$CD为\odot O$的切线.
(1)求证：$DC = AC$；
(2)若$DC = DB$,$\odot O$的半径为 1,求$DC$的长.

答案：
(1)证明:连接 OD.
∵CD 是⊙O 的切线,
∴CD⊥OD,
∴∠ODC=90°,
∴∠BDO+∠ADC=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∴∠A=∠ADC,
∴CD=AC.
(2)解:
∵DC=DB,
∴∠DCB=∠DBC,
∴∠DCB=∠DBC=∠BDO.
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC=180°,∠ODC=90°,
∴∠DCB=∠DBC=∠BDO=30°,又 OD=1,
∴OC=2,
∴DC=$\sqrt{3}$.

19. (14 分)如图,$AN是\odot M$的直径,$NB// x$轴,$AB交\odot M于点C$.
(1)若点$A(0,6)$,$N(0,2)$,$\angle ABN = 30^{\circ}$,求点$B$的坐标.
(2)若点$D为线段NB$的中点,求证：直线$CD是\odot M$的切线.

答案：
(1)解:
∵点 A(0,6),N(0,2),
∴AN=4.
∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,
∴AB=2AN=8,
∴NB=$\sqrt{AB^{2}-AN^{2}}$=4$\sqrt{3}$,
∴B(4$\sqrt{3}$,2).
(2)证明:连接 MC,NC.
∵AN 是⊙M 的直径,
∴∠ACN=90°,
∴∠NCB=90°.在 Rt△NCB 中,点 D 为 NB 的中点,
∴CD=$\frac{1}{2}$NB=ND,
∴∠CND=∠NCD.
∵MC=MN,
∴∠MCN=∠MNC.
∵∠MNC+∠CND=90°,
∴∠MCN+∠NCD=90°,即 MC⊥CD,
∴直线 CD 是⊙M 的切线.

20. (14 分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,以$BC为直径的\odot O交AB于点D$,$\odot O的切线DE交AC于点E$.
(1)求证：$E是AC$的中点；
(2)若$AB = 10$,$BC = 6$,连接$CD$,$OE$,交点为$F$,求$OF$的长.

答案：

(1)证明:连接 OD.
∵∠ACB=90°,BC 为⊙O 的直径,
∴EC 为⊙O 的切线,∠A+∠B=90°.
∵DE 为⊙O 的切线,
∴EC=DE,DE⊥OD,
∴∠EDA+∠ODB=90°.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠B,
∴∠EDA=∠A,
∴EA=DE,
∴EA=EC,即 E 是 AC 的中点.
(2)解:连接 OD,如图.

∵EC,DE 是⊙O 的切线,
∴EO 平分∠CED,EC=ED,
∴EO⊥CD,F 是 CD 的中点.
∵点 E,O 分别是 AC,BC 的中点,
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=5.在 Rt△ABC 中,
∵AB=10,BC=6,
∴AC=8,
∴ED=$\frac{1}{2}$AC=4.在 Rt△DOE 中,
∵OD=$\frac{1}{2}$BC=3,
∴DF=$\frac{ED·DO}{OE}$=$\frac{12}{5}$.在 Rt△OFD 中,OF=$\sqrt{OD^{2}-DF^{2}}$=$\frac{9}{5}$.