《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

15. (12 分)已知抛物线 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),顶点为 $ P $。
(1)求 $ A $,$ B $,$ P $ 三点的坐标；
(2)在平面直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线,并根据图象写出当 $ x $ 取何值时,函数值大于零；
(3)将此抛物线向下平移一个单位,请写出平移后所得抛物线的解析式。

答案：
解:
(1)令$y=0$,则$-x^{2}+4x-3=0$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=3$,
$\because$点$A$在点$B$左侧,$\therefore A(1,0)$,$B(3,0)$.
根据顶点坐标公式,得$-\dfrac{b}{2a}=2$,$\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}=1$,即$P(2,1)$.
(2)列表、描点,作出抛物线如下:

由图象可得,当$1＜ x＜3$时,$y＞0$.
(3)将此抛物线向下平移一个单位后,所得抛物线的解析式为$y=-x^{2}+4x-4$.

16. (12 分)已知抛物线 $ y = x^2 - 2(m - 1)x + m^2 - 7 $ 与 $ x $ 轴有两个交点。
(1)求 $ m $ 的取值范围；
(2)若抛物线与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,点 $ A(3, 0) $,求点 $ B $ 的坐标。

答案： 解:
(1)$\because$抛物线$y=x^{2}-2(m-1)x+m^{2}-7$与$x$轴有两个交点,$\therefore[-2(m-1)]^{2}-4(m^{2}-7)＞0$,解得$m＜4$.
(2)把$(3,0)$代入解析式,得$9-6(m-1)+m^{2}-7=0$,即$m^{2}-6m+8=0$,解得$m_{1}=2$,$m_{2}=4$.
$\because m＜4$,$\therefore m=2$,$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^{2}-2x-3$.
令$y=0$,则$x^{2}-2x-3=0$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=-1$.
$\therefore$点$B(-1,0)$.

17. (12 分)如图,抛物线经过点 $ A $,$ B $,$ C $。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若抛物线和 $ x $ 轴的另一个交点为 $ D $,求 $ \triangle ODC $ 的面积。

答案： 解:
(1)由题意设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^{2}-4$,
把$A(-1,0)$代入得$a(-1-1)^{2}-4=0$,解得$a=1$,
所以抛物线的解析式为$y=(x-1)^{2}-4$.
(2)点$A(-1,0)$关于抛物线的对称轴直线$x=1$的对称点$D$的坐标为$(3,0)$,所以$S_{\triangle ACD}=\dfrac{1}{2}×3×4=6$.