《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

18. (10 分)工人师傅用一块长为 $ 2 $ 米,宽为 $ 1.2 $ 米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计),要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 $ 3 $ 倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方米的费用为 $ 50 $ 元,底面每平方米的费用为 $ 200 $ 元,求：当裁掉的正方形边长为多少时,总费用最低？最低为多少？

答案： 解:设裁掉的正方形边长为x米.
∵底面长不大于底面宽的3倍，$\therefore 2 - 2x\leq3(1.2 - 2x)$，解得$x\leq0.4$，则$0＜x\leq0.4$.设总费用为w元，则$w=50×2x(2 - 2x)+50×2x(1.2 - 2x)+200(2 - 2x)(1.2 - 2x)$$=50×2x(2 - 2x+1.2 - 2x)+200(4x^{2}-6.4x+2.4)$$=100x(3.2 - 4x)+200(4x^{2}-6.4x+2.4)$$=400x^{2}-960x+480=400(x - 1.2)^{2}-96$.
∵上述函数图象的对称轴为直线$x=1.2$，且开口向上，
∴当$0＜x\leq0.4$时，w随x的增大而减小，
∴当$x=0.4$时，w取得最小值，最小值为160.答:当裁掉的正方形边长为0.4米时，总费用最低，最低为160元.

19. (11 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+(m - 2)x - 1 = 0(m $ 为实数).
(1) 若方程有两个不相等的实数根,求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ \frac{1}{2} $ 是此方程的实数根,抛物线 $ y = (m - 1)x^{2}+(m - 2)x - 1 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,抛物线的顶点为 $ C $,求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 解:
(1)此方程的根的判别式$\Delta=(m - 2)^{2}+4(m - 1)=m^{2}$，
∵方程有两个不相等的实数根，$\therefore m≠0$.
∵$m - 1≠0$，$\therefore m≠1$.综上所述，m的取值范围是$m≠0$且$m≠1$.
(2)
∵$\frac {1}{2}$是此方程的实数根，$\therefore (m - 1)×(\frac {1}{2})^{2}+(m - 2)×\frac {1}{2}-1=0$，解得$m=3$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=2x^{2}+x - 1=2(x+\frac {1}{4})^{2}-\frac {9}{8}$，
∴顶点$C(-\frac {1}{4},-\frac {9}{8})$.令$y=0$，得$2x^{2}+x - 1=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac {1}{2}$.
∴$AB=|x_{2}-x_{1}|=\frac {3}{2}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}AB\cdot |y_{C}|=\frac {1}{2}×\frac {3}{2}×\frac {9}{8}=\frac {27}{32}$.

20. (12 分)某种水果的进货成本是每吨 $ 0.5 $ 万元,这种水果在市场上的销售量 $ y $(吨)是每吨的销售价 $ x $(万元)的一次函数,且 $ x = 0.6 $ 时,$ y = 2.4 $,$ x = 1 $ 时,$ y = 2 $.
(1) 求出销售量 $ y $(吨)与每吨的销售价 $ x $(万元)之间的函数解析式；
(2) 若销售利润为 $ w $(万元),请写出 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数解析式,若每吨的销售价不低于成本价的 $ 2 $ 倍且不超过成本价的 $ 4 $ 倍,求每吨的销售价定为何值时能获得最大销售利润.

答案： 解:
(1)设销售量y(吨)与每吨的销售价x(万元)之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
∵$x=0.6$时，$y=2.4$；$x=1$时，$y=2$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} 0.6k+b=2.4\\ k+b=2\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1\\ b=3\end{array}\right. $.
∴销售量y(吨)与每吨的销售价x(万元)之间的函数解析式为$y=-x+3$.
(2)
∵$w=yx - y×0.5=(-x+3)x-(-x+3)×0.5=-x^{2}+3.5x-1.5$，
∴w与x之间的函数解析式是$w=-x^{2}+3.5x-1.5=-(x-\frac {7}{4})^{2}+\frac {25}{16}$.由题知$0.5×2\leq x\leq0.5×4$，即$1\leq x\leq2$.
∴当$x=\frac {7}{4}$时，函数有最大值，即每吨的销售价定为1.75万元时能获得最大销售利润.

21. (14 分)如图,抛物线 $ y = ax^{2}+3ax + c(a＞0) $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,0) $,$ OC = 3OB $.
(1) 求抛物线对应的函数解析式；
(2) 若点 $ D $ 是线段 $ AC $ 下方抛物线上的动点,求四边形 $ ABCD $ 面积的最大值.

答案：
解:
(1)
∵$B(1,0)$，$\therefore OB=1$.
∵$OC=3BO$，$\therefore C(0,-3)$.
∵抛物线$y=ax^{2}+3ax+c(a＞0)$过点$B(1,0)$，$C(0,-3)$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} c=-3\\ a+3a+c=0\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} a=\frac {3}{4}\\ c=-3\end{array}\right. $.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=\frac {3}{4}x^{2}+\frac {9}{4}x-3$.
(2)如图，过点D作$DM// y$轴，分别交线段AC和x轴于点M，N，在$y=\frac {3}{4}x^{2}+\frac {9}{4}x-3$中，令$y=0$，得方程$\frac {3}{4}x^{2}+\frac {9}{4}x-3=0$.解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=1$.
∵点A在点B的左侧，$\therefore A(-4,0)$，$B(1,0)$.设直线AC对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} -4k+b=0\\ b=-3\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} k=-\frac {3}{4}\\ b=-3\end{array}\right. $.
∴直线AC对应的函数解析式为$y=-\frac {3}{4}x-3$.$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac {1}{2}AB\cdot OC+\frac {1}{2}DM\cdot (AN+ON)=\frac {15}{2}+2DM$设$D(x,\frac {3}{4}x^{2}+\frac {9}{4}x-3)$，则$M(x,-\frac {3}{4}x-3)$，$DM=-\frac {3}{4}x-3-(\frac {3}{4}x^{2}+\frac {9}{4}x-3)=-\frac {3}{4}(x+2)^{2}+3$，当$x=-2$时，DM有最大值3，
∴此时四边形ABCD的面积有最大值，最大值为$\frac {15}{2}+2×3=\frac {27}{2}$.