《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

18. (12 分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是 50 元,为了合理定价,投放市场进行试销。据市场调查,销售单价是 100 元时,每天的销售量是 50 件,而销售单价每降低 1 元,每天就可多售出 5 件,但要求销售单价不得低于成本。
(1)求出每天的销售利润 $ y $(元)与销售单价 $ x $(元)之间的函数关系式。
(2)销售单价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元,那么销售单价应控制在什么范围内？

答案： 解:
(1)$y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)(-5x+550)=-5x^{2}+800x-27500$,
$\therefore y=-5x^{2}+800x-27500(50\leqslant x\leqslant100)$.
(2)$y=-5x^{2}+800x-27500=-5(x-80)^{2}+4500$,
$\because-5＜0$,$\therefore$抛物线开口向下.
$\because50\leqslant x\leqslant100$,对称轴是直线$x=80$,
$\therefore$当$x=80$时,$y_{最大值}=4500$.
即当销售单价为$80$元时,每天的销售利润最大,最大利润是$4500$元.
(3)当$y=4000$时,$-5(x-80)^{2}+4500=4000$,
解得$x_{1}=70$,$x_{2}=90$.
$\therefore$当$70\leqslant x\leqslant90$时,每天的销售利润不低于$4000$元.

19. (12 分)如图,开口向下的抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1, 0) $、$ B(2, 0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C(0, 4) $,点 $ P $ 是第一象限内抛物线上的一点。
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)设四边形 $ CABP $ 的面积为 $ S $,求 $ S $ 的最大值。

答案： 解:
(1)$\because A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,4)$,$\therefore$可设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-2)$,将点$C$的坐标代入得$4=-2a$,解得$a=-2$,$\therefore$该抛物线的解析式为$y=-2(x+1)(x-2)=-2x^{2}+2x+4$.
(2)连接$OP$.设点$P$的坐标为$(m,-2m^{2}+2m+4)$,$m＞0$,
$\because A(-1,0)$,$B(2,0)$,$C(0,4)$,$\therefore OA=1$,$OC=4$,$OB=2$,
$\therefore S=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OCP}+S_{\triangle OPB}=\dfrac{1}{2}×1×4+\dfrac{1}{2}×4m+\dfrac{1}{2}×2×(-2m^{2}+2m+4)=-2m^{2}+4m+6=-2(m-1)^{2}+8$,
$\therefore$当$m=1$时,$S$最大,最大值为$8$.

20. (15 分)已知抛物线 $ y = ax^2 + (1 - 2a)x - 2(a \neq 0) $。
(1)当 $ a = 1 $ 时,抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ A $,$ B $(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,求点 $ A $,$ B $,$ C $ 的坐标；
(2)若该抛物线与(1)中的线段 $ AB $ 总有两个公共点,结合函数的图象,求 $ a $ 的取值范围。

答案：
解:
(1)当$x=0$时,$y=-2$,$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-2)$.
当$a=1$时,抛物线为$y=x^{2}-x-2$.
令$x^{2}-x-2=0$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=2$.
$\because$点$A$在点$B$左侧,$\therefore$点$A$,$B$的坐标分别为$(-1,0)$,$(2,0)$.
(2)由
(1)知抛物线恒过点$C(0,-2)$.
$\because y=ax^{2}+(1-2a)x-2=(ax+1)(x-2)$,
$\therefore$抛物线$y=ax^{2}+(1-2a)x-2$恒过点$B(2,0)$.
①若抛物线开口向上,
如图①,抛物线经过点$A$,$B$,此时$a$的值最小,可求得$a=1$,
$\therefore a\geqslant1$.

②若抛物线开口向下,
如图②,当点$B$为抛物线的顶点时,抛物线与$x$轴只有一个公共点,可求得$a=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore a＜-\dfrac{1}{2}$.
综上所述,$a$的取值范围为$a\geqslant1$或$a＜-\dfrac{1}{2}$.