《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

8. 函数 $ y = ax^2 + 2ax + m(a ＜ 0) $ 的图象过点 $ (2, 0) $,则使函数值 $ y ＜ 0 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是(A)
A.$ x ＜ -4 $ 或 $ x ＞ 2 $
B.$ -4 ＜ x ＜ 2 $
C.$ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $
D.$ 0 ＜ x ＜ 2 $

答案： 解析:抛物线$y=ax^{2}+2ax+m$的对称轴为直线$x=-\dfrac{2a}{2a}=-1$,而抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(2,0)$,$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-4,0)$.$\because a＜0$,$\therefore$抛物线开口向下,$\therefore$当$x＜-4$或$x＞2$时,$y＜0$.故选A.

9. 将二次函数 $ y = x^2 + 4x - 2 $ 配方成 $ y = (x - h)^2 + k $ 的形式,则 $ y = $ $(x+2)^{2}-6$。

答案： $(x+2)^{2}-6$

10. 抛物线 $ y = ax^2 + bx - 10 $ 的对称轴是直线 $ x = -2 $,且经过点 $ P(1, 0) $,则 $ -25a + 5b $ 的值为$-10$。

答案： $-10$

11. 如图,已知二次函数 $ y = -x^2 + 2x $,当 $ -1 ＜ x ＜ a $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则实数 $ a $ 的取值范围是$-1＜ a\leqslant1$。

答案： $-1＜ a\leqslant1$

12. 如图,直线 $ y = mx + n $ 与抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 交于 $ A(-2, p) $,$ B(5, q) $ 两点,则关于 $ x $ 的不等式 $ mx + n ＞ ax^2 + bx + c $ 的解集是$x＜-2$或$x＞5$。

答案： $x＜-2$或$x＞5$

13. 如图,已知抛物线 $ y_1 = -x^2 + 4x $ 和直线 $ y_2 = 2x $。我们规定当 $ x $ 取任意一个值时,$ x $ 对应的函数值分别为 $ y_1 $ 和 $ y_2 $,若 $ y_1 \neq y_2 $,取 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 中较小值为 $ M $；若 $ y_1 = y_2 $,记 $ M = y_1 = y_2 $。
①当 $ x ＞ 2 $ 时,$ M = y_2 $；②当 $ x ＜ 0 $ 时,$ M $ 随 $ x $ 的增大而增大；③使得 $ M ＞ 4 $ 的 $ x $ 的值不存在；④若 $ M = 2 $,则 $ x = 1 $。上述结论正确的是②③(填写所有正确结论的序号)。

答案： ②③

14. (10 分)已知二次函数 $ y = x^2 + mx + n $ 的图象经过点 $ P(-3, 1) $,对称轴是直线 $ x = -1 $。
(1)求 $ m $,$ n $ 的值；
(2)$ x $ 取什么值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

答案： 解:
(1)$\because$二次函数$y=x^{2}+mx+n$的图象经过点$P(-3,1)$,对称轴是直线$x=-1$,
$\therefore\begin{cases}1=9-3m+n,\\-\dfrac{m}{2}=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\n=-2.\end{cases}$
(2)由
(1)知二次函数的解析式为$y=x^{2}+2x-2$.
$\because a=1＞0$,$\therefore$抛物线的开口向上.
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-1$,
$\therefore$当$x\leqslant-1$时,$y$随$x$的增大而减小.