《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

15. (10 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ CD $ 是 $ AB $ 上的高,且 $ \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} $。
(1) 求证：$ \triangle ACD \sim \triangle CBD $。
(2) 求 $ \angle ACB $ 的大小。

答案：
(1)证明:
∵$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，∠ADC = ∠CDB，
∴△ACD∽△CBD。
(2)解:由
(1)知，∠ACD = ∠B，∠A = ∠BCD。
∵∠A + ∠B + ∠ACD + ∠BCD = 180°，
∴∠ACB = 90°。

16. (12 分)已知 $ \triangle ABC $ 在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为 $ A(0, 3) $、$ B(3, 4) $、$ C(2, 2) $(正方形网格中每个小正方形的边长是 $ 1 $ 个单位长度)。
(1) 画出 $ \triangle ABC $ 向下平移 $ 4 $ 个单位长度得到的 $ \triangle A_1B_1C_1 $,点 $ C_1 $ 的坐标是______。
(2) 以点 $ B $ 为位似中心,在网格内画出 $ \triangle A_2B_2C_2 $,使 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 与 $ \triangle ABC $ 位似,且相似比为 $ 2 : 1 $,点 $ C_2 $ 的坐标是______。
(3) $ \triangle A_2B_2C_2 $ 的面积是______平方单位。

答案：

(1)△A₁B₁C₁如图所示；C₁(2, - 2)。
(2)△A₂B₂C₂如图所示；C₂(1, 0)。
(3)由图易求得A₂C₂² = 20，B₂C₂² = 20，A₂B₂² = 40。
∴A₂C₂² + B₂C₂² = A₂B₂²，A₂C₂ = B₂C₂，
∴△A₂B₂C₂是等腰直角三角形，
∴△A₂B₂C₂的面积是$\frac{1}{2}$×20 = 10(平方单位)。

17. (12 分)如图,$ MN $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ QN $ 是 $ \odot O $ 的切线,连接 $ MQ $ 交 $ \odot O $ 于点 $ H $,$ E $ 为 $ \overset{\frown}{MH} $ 上一点,连接 $ ME $、$ NE $,$ NE $ 交 $ MQ $ 于点 $ F $,且 $ ME^2 = EF \cdot EN $。
(1) 求证：$ QN = QF $。
(2) 若点 $ E $ 到弦 $ MH $ 的距离为 $ 1 $,$ \cos Q = \frac{3}{5} $,求 $ \odot O $ 的半径。

答案：

(1)证明:如图①，
∵ME² = EF·EN，
∴$\frac{ME}{EN}=\frac{EF}{ME}$。又
∵∠MEF = ∠NEM，
∴△MEF∽△NEM。
∴∠1 = ∠EMN。
∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = ∠EMN。
∵MN为直径，ON为⊙O的切线，
∴∠3 + ∠ENM = ∠EMN + ∠ENM = 90°，
∴∠3 = ∠EMN，
∴∠2 = ∠3，
∴QN = QF。
(2)解:如图②，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r。由
(1)知，△MEF∽△NEM，则∠4 = ∠5。
∴$\overset{\frown}{ME}=\overset{\frown}{EH}$，
∴OE⊥MQ，
∴EG = 1。
∵cosQ = $\frac{3}{5}$，且∠Q + ∠GMO = 90°，
∴sin∠GMO = $\frac{3}{5}$。
∴$\frac{OG}{OM}=\frac{3}{5}$，即$\frac{r - 1}{r}=\frac{3}{5}$，解得r = 2.5。
∴⊙O的半径是2.5。