《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

20. (13 分)观察下列方程及其解的特征：
(1)$x+\frac{1}{x}= 2$ 的解为 $x_{1}= x_{2}= 1$；
(2)$x+\frac{1}{x}= \frac{5}{2}$ 的解为 $x_{1}= 2$,$x_{2}= \frac{1}{2}$；
(3)$x+\frac{1}{x}= \frac{10}{3}$ 的解为 $x_{1}= 3$,$x_{2}= \frac{1}{3}$；
……
解答下列问题：
(1)请猜想：关于 $x$ 的方程 $x+\frac{1}{x}=$$\dfrac{a^{2}+1}{a}$(或$a+\dfrac{1}{a}$)的解为 $x_{1}= a$,$x_{2}= \frac{1}{a}(a\neq0)$；
(2)下面以解方程 $x+\frac{1}{x}= \frac{26}{5}$ 为例,验证(1)中猜想结论的正确性.
解：原方程可化为 $5x^{2}-26x = -5$.(请用配方法写出解此方程的详细过程)
解：二次项系数化为1,得$x^{2}-\dfrac{26}{5}x=-1$.配方,得$x^{2}-\dfrac{26}{5}x+\left(-\dfrac{13}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\dfrac{13}{5}\right)^{2}$,$\left(x-\dfrac{13}{5}\right)^{2}=\dfrac{144}{25}$.开方,得$x-\dfrac{13}{5}=\pm\dfrac{12}{5}$.解得$x_{1}=5$,$x_{2}=\dfrac{1}{5}$.经检验,$x_{1}=5$,$x_{2}=\dfrac{1}{5}$都是原方程的解.

答案： 解:
(1)$\dfrac{a^{2}+1}{a}$(或$a+\dfrac{1}{a}$)
(2)二次项系数化为1,得$x^{2}-\dfrac{26}{5}x=-1$.配方,得$x^{2}-\dfrac{26}{5}x+\left(-\dfrac{13}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\dfrac{13}{5}\right)^{2}$,$\left(x-\dfrac{13}{5}\right)^{2}=\dfrac{144}{25}$.开方,得$x-\dfrac{13}{5}=\pm\dfrac{12}{5}$.解得$x_{1}=5$,$x_{2}=\dfrac{1}{5}$.经检验,$x_{1}=5$,$x_{2}=\dfrac{1}{5}$都是原方程的解.

21. (14 分)某商品现在的售价为每件 $60$ 元,每星期可卖出 $300$ 件. 市场调查反映：每降价 $1$ 元,每星期可多卖出 $20$ 件. 已知商品的进价为每件 $40$ 元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得 $6080$ 元的利润,应将销售单价定为多少元？

答案： 解:设降价$x$元,则售价为$(60-x)$元,销售量为$(300+20x)$件,根据题意得$(60-x-40)(300+20x)=6080$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=4$,又顾客得实惠,故取$x=4$,即定价为56元.答:应将销售单价定为56元.