《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (12 分)已知抛物线 $ y = -x^{2}+bx + c $ 经过点 $ A(4,0) $ 和点 $ B(0,2) $,顶点为 $ C $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若抛物线的对称轴 $ l $ 与 $ x $ 轴交于点 $ D $,连接 $ AC $,$ BC $,$ BD $,求四边形 $ ADBC $ 的面积。

答案： 解:
(1)$\because$抛物线$y=-x^{2}+bx+c$经过点$A(4,0)$,$B(0,2)$,$\therefore \begin{cases} -16+4b+c=0, \\c=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=\dfrac{7}{2}, \\c=2, \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=-x^{2}+\dfrac{7}{2}x+2$.
(2)$y=-x^{2}+\dfrac{7}{2}x+2=-\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}+\dfrac{81}{16}$,
∴$C\left(\dfrac{7}{4},\dfrac{81}{16}\right)$,
∴$S_{四边形ADBC}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle ADC}=\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{81}{16}=\dfrac{81}{8}$.

20. (12 分)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业,某次统计时,广东 5G 基站的数量约 1.5 万座,到 2020 年底,全省 5G 基站数量是统计时的 4 倍,到 2022 年底,全省 5G 基站数量达到 17.34 万座。
(1) 到 2020 年底,全省 5G 基站的数量是多少万座？
(2) 求 2020 年底到 2022 年底,全省 5G 基站数量的年平均增长率。

答案： 解:
(1)由题意可得,到2020年底,全省5G基站的数量是$1.5×4=6$(万座).答:到2020年底,全省5G基站的数量是6万座.
(2)设年平均增长率为$x$,由题意可得$6(1+x)^{2}=17.34$,解得$x_{1}=0.7=70\%$,$x_{2}=-2.7$(舍去).答:2020年底到2022年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.

21. (15 分)如图,抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 交 $ x $ 轴于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点,交 $ y $ 轴于点 $ C $,其顶点为 $ D $,连接 $ BC $,点 $ P $ 从 $ A $ 点出发,在线段 $ AB $ 上以每秒 1 个单位长度的速度向 $ B $ 点运动,同时,点 $ Q $ 从 $ B $ 点出发,在线段 $ BC $ 上以每秒 $ \sqrt{2} $ 个单位长度的速度向 $ C $ 点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动时间为 $ t $ 秒。
(1) 求抛物线的解析式和顶点 $ D $ 的坐标。
(2) 点 $ Q $ 运动到何处时,点 $ Q $ 到点 $ D $,$ P $ 的距离相等？求出相应的点 $ Q $ 的坐标。
(3) 是否存在 $ t $,使得 $ \triangle BPQ $ 是等腰三角形？若存在,直接写出此时 $ t $ 的值；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)把$A(-1,0)$,$B(3,0)$分别代入抛物线的解析式,得$\begin{cases} 0=1-b+c, \\0=9+3b+c, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=-2, \\c=-3, \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^{2}-2x-3$.$\because y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$,
∴顶点$D$的坐标为$(1,-4)$.
(2)由
(1)可知点$C(0,-3)$,$D(1,-4)$.又$\because B(3,0)$,
∴$OB=OC=3$.设当点$P、Q$的运动时间为$t$秒时,有$QD=QP$,则点$P$的坐标为$(t-1,0)$,$BQ=\sqrt{2}t$.$\because OB=OC$,
∴$\triangle OBC$为等腰直角三角形,
∴点$Q$的坐标为$(3-t,-t)$.$\therefore PQ^{2}=[3-t-(t-1)]^{2}+(-t)^{2}=5t^{2}-16t+16$,$DQ^{2}=(3-t-1)^{2}+[(-t)-(-4)]^{2}=2t^{2}-12t+20$.$\because QD=QP$,$\therefore 5t^{2}-16t+16=2t^{2}-12t+20$,解得$t=2$或$t=-\dfrac{2}{3}$(舍去),
∴当$t=2$时,$QD=QP$,此时点$Q$的坐标为$(1,-2)$.
(3)存在$t$,使得$\triangle BPQ$为等腰三角形.由
(2)可知$BP=4-t$,$BQ=\sqrt{2}t$,$PQ=\sqrt{5t^{2}-16t+16}$.①当$BP=BQ$时,$4-t=\sqrt{2}t$,解得$t=4\sqrt{2}-4$.②当$BQ=PQ$时,$\sqrt{2}t=\sqrt{5t^{2}-16t+16}$,解得$t=\dfrac{4}{3}$或$t=4$(舍去).③当$PQ=PB$时,$\sqrt{5t^{2}-16t+16}=4-t$,解得$t=2$或$t=0$(舍去).综上,当$t$的值为$4\sqrt{2}-4$或$\dfrac{4}{3}$或2时,$\triangle BPQ$为等腰三角形.