《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

20. (13 分)如图,已知线段 $ AB = 10 cm $,点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上,分别以 $ AC, BC, AB $ 为边向下作正方形.
(1)当阴影部分的面积为 $ 42 cm^2 $ 时,求 $ AC $ 的长.
(2)阴影部分的面积能否为 $ 60 cm^2 $？如果能,请求出 $ AC $ 的长；如果不能,请说明理由.

答案：
(1)设$AC=x\ cm$,则$BC=(10 - x)\ cm$,根据题意,得$10^{2}-x^{2}-(10 - x)^{2}=42$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=7$.故$AC$的长为3cm或7cm.
(2)不能.理由:假设阴影部分的面积能为$60\ cm^{2}$,设$AC=y\ cm$,则$BC=(10 - y)\ cm$.根据题意,得$10^{2}-y^{2}-(10 - y)^{2}=60$,整理,得$y^{2}-10y + 30=0$.$\because\Delta=100 - 4×30=-20＜0$,$\therefore$方程无实数根.故阴影部分的面积不能为$60\ cm^{2}$.

21. (14 分)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共 400 千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7 倍,求该果农今年收获樱桃至少多少千克.
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售,该果农去年樱桃的市场销售量为 100 千克,销售均价为 30 元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少了 $ m\% $,销售均价与去年相同,该果农去年枇杷的市场销售量为 200 千克,销售均价为 20 元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了 $ 2m\% $,但销售均价比去年减少了 $ m\% $,该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同,求 $ m $ 的值.

答案：
(1)设该果农今年收获樱桃$x$千克,根据题意,得$400 - x\leqslant7x$,解得$x\geqslant50$,答:该果农今年收获樱桃至少50千克.
(2)由题意可得$100(1 - m\%)×30 + 200×(1 + 2m\%)×20(1 - m\%)=100×30 + 200×20$,令$m\%=y$,原方程可化为$3000(1 - y)+4000(1 + 2y)(1 - y)=7000$,整理可得$8y^{2}-y=0$,解得$y_{1}=0$,$y_{2}=0.125$,$\therefore m_{1}=0$(舍去),$m_{2}=12.5$,$\therefore m$的值为12.5.